Successioni quadratiche: esempi, regole e esercizi risolti
Le sequenze quadratiche, in termini matematici, consistono in sequenze di numeri che seguono una certa regola aritmetica. È interessante conoscere questa regola per determinare uno qualsiasi dei termini di una sequenza.
Un modo per farlo è determinare la differenza tra due termini successivi e vedere se il valore ottenuto viene sempre ripetuto. Quando questo è il caso, si dice che è una successione regolare .
Ma se non viene ripetuto, puoi provare ad esaminare la differenza tra le differenze e vedere se questo valore è costante. Se è così, allora è una sequenza quadratica .
Esempi di successioni regolari e sequenze quadratiche
I seguenti esempi aiutano a chiarire ciò che è stato spiegato finora:
Esempio di successione regolare
Lascia che la sequenza S = {4, 7, 10, 13, 16, ......}
Questa sequenza, indicata con S, è un numero infinito, in questo caso di numeri interi.
Si può vedere che è una successione regolare, poiché ogni termine è ottenuto aggiungendo 3 al termine o elemento precedente:
4
4 + 3 = 7
7+ 3 = 10
10+ 3 = 13
13+ 3 = 16
In altre parole: questa sequenza è regolare perché la differenza tra il termine successivo e quello precedente fornisce un valore fisso. Nell'esempio riportato questo valore è 3.
Le sequenze regolari che si ottengono aggiungendo una quantità fissa al termine precedente, sono anche chiamate progressioni aritmetiche. E la differenza - costante - tra termini successivi è chiamata ragione ed è indicata come R.
Esempio di successione non regolare e quadratica
Guarda ora la seguente sequenza:
S = {2, 6, 12, 20, 30, ....}
Quando vengono calcolate le differenze successive, si ottengono i seguenti valori:
6-2 = 4
12-6 = 6
20-12 = 8
30-20 = 10
Le loro differenze non sono costanti, quindi si può affermare che si tratta di una successione non regolare.
Tuttavia, se consideriamo l'insieme di differenze, abbiamo un'altra sequenza, che sarà indicata come S dif :
S dif = {4, 6, 8, 10, ....}
Questa nuova sequenza è una sequenza regolare, poiché ogni termine è ottenuto aggiungendo il valore fisso R = 2 al precedente. Questo è il motivo per cui possiamo affermare che S è una successione quadratica.
Regola generale per costruire una successione quadratica
C'è una formula generale per costruire una sequenza quadratica:
T n = A ∙ n2 + B ∙ n + C
In questa formula, T n è il termine della posizione n della sequenza. A, B e C sono valori fissi, mentre n varia uno per uno, vale a dire 1, 2, 3, 4, ...
Nella sequenza S dell'esempio precedente A = 1, B = 1 e C = 0. Da ciò segue che la formula che genera tutti i termini è: T n = n2 + n
Quello è:
T 1 = 12 + 1 = 2
T 2 = 22 + 2 = 6
T 3 = 32 + 3 = 12
T 5 = 52 + 5 = 30
T n = n2 + n
Differenza tra due termini consecutivi di una sequenza quadratica
T n + 1 - T n = [A ∙ (n + 1) 2 + B ∙ (n + 1) + C] - [A ∙ n2 + B ∙ n + C]
Sviluppare l'espressione attraverso un prodotto notevole è:
T n + 1 - T n = A ∙ n2 + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n2 - B ∙ n - C
Semplificandolo ottieni:
T n + 1 - T n = 2 ∙ A ∙ n + A + B
Questa è la formula che dà la sequenza di differenze S Dif che può essere scritta in questo modo:
Dif n = A ∙ (2n + 1) + B
Dove chiaramente il prossimo termine è 2 ∙ A volte il precedente. Cioè, la ragione della successione delle differenze S dif è: R = 2 ∙ A.
Esercizi risolti di successioni quadratiche
Esercizio 1
Lascia che la sequenza S = {1, 3, 7, 13, 21, ......}. Determina se:
i) è normale o no
ii) È quadratico o no
iii) Era quadratico, la successione delle differenze e la loro ragione
risposte
i) Calcoliamo la differenza tra il seguente termine e il precedente:
3-1 = 2
7-3 = 4
13-7 = 6
21-13 = 8
Possiamo affermare che la sequenza S non è regolare, perché la differenza tra i termini successivi non è costante.
ii) La successione delle differenze è regolare, perché la differenza tra i loro termini è il valore costante 2. Pertanto, la sequenza originale S è quadratica.
iii) Abbiamo già stabilito che S è quadratico, la successione delle differenze è:
S dif = {2, 4, 6, 8, ...} e il suo rapporto è R = 2.
Esercizio 2
Lascia che la sequenza S = {1, 3, 7, 13, 21, ......} dell'esempio precedente, dove è stato verificato che sia quadratica. determinare:
i) La formula che determina il termine generale T n.
ii) Verificare i termini terzo e quinto.
iii) Il valore del decimo termine.
risposte
i) La formula generale di T n è A ∙ n2 + B ∙ n + C. Quindi rimane da sapere i valori di A, B e C.
La successione delle differenze è giusta 2. Anche per ogni sequenza quadratica il rapporto R è 2 ∙ A come dimostrato nelle sezioni precedenti.
R = 2 ∙ A = 2 che ci porta a concludere che A = 1.
Il primo termine della sequenza di differenze S Dif è 2 e deve soddisfare A ∙ (2n + 1) + B, con n = 1 e A = 1, cioè:
2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B
cancellando B ottieni: B = -1
Quindi il primo termine di S (n = 1) vale 1, cioè: 1 = A ∙ 12 + B ∙ 1 + C. Come sappiamo già che A = 1 e B = -1, la sostituzione è:
1 = 1 ∙ 12 + (-1) ∙ 1 + C
Cancellando C ottieni il suo valore: C = 1.
In sintesi:
A = 1, B = -1 e C = 1
Quindi il n-esimo termine sarà T n = n2 - n + 1
ii) Il terzo termine T 3 = 32 - 3 + 1 = 7 e viene verificato. Il quinto T 5 = 52 - 5 + 1 = 21 che è anche verificato.
iii) Il decimo termine sarà T 10 = 102 - 10 + 1 = 91.
Esercizio 3
La figura mostra una sequenza di cinque figure. La griglia rappresenta l'unità di lunghezza.
i) Determina la sequenza per l'area delle figure.
ii) Mostra che è una sequenza quadratica.
iii) Trova l'area della Figura 10 (non mostrata).
risposte
i) La sequenza S corrispondente all'area della sequenza di figure è:
S = {0, 2, 6, 12, 20, . . . . . }
ii) La successione corrispondente alle differenze consecutive dei termini di S è:
S dif = {2, 4, 6, 8, . . . . . }
Poiché la differenza tra i termini consecutivi non è costante, S non è una sequenza regolare. Abbiamo bisogno di sapere se è quadratico, per il quale facciamo di nuovo la sequenza delle differenze, ottenendo:
{2, 2, 2, .......}
Poiché tutti i termini della sequenza sono ripetuti, viene confermato che S è una sequenza quadratica.
iii) La sequenza S dif è regolare e il suo rapporto R è 2. Usando l'equazione mostrata sopra R = 2 ∙ A, rimane:
2 = 2 ∙ A, che implica che A = 1.
Il secondo termine della sequenza di differenze S Dif è 4 e l'ennesimo termine di S Dif è
A ∙ (2n + 1) + B.
Il secondo termine ha n = 2. Inoltre era già determinato che A = 1, quindi usando l'equazione precedente e sostituendo abbiamo:
4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B
Compensando B ottieni: B = -1.
È noto che il secondo termine di S è 2 e che deve soddisfare la formula del termine generale con n = 2:
T n = A ∙ n2 + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T 2 = 2
Voglio dire
2 = 1 ∙ 22 - 1 ∙ 2 + C
Concludiamo che C = 0, cioè che la formula che dà il termine generale della sequenza S è:
T n = 1 ∙ n2 - 1 ∙ n +0 = n2 - n
Ora il quinto termine è verificato:
T 5 = 52 - 5 = 20
iii) La figura 10, che non è stata disegnata qui, avrà l'area corrispondente al decimo termine della sequenza S:
T 10 = 102 - 10 = 90
