Eventi complementari: in cosa consistono ed esempi

Gli eventi complementari sono definiti come qualsiasi gruppo di eventi mutuamente esclusivi, in cui l'unione di essi è in grado di coprire completamente lo spazio campionario o possibili casi di sperimentazione (sono esaurienti).

La sua intersezione risulta nel set vuoto (∅). La somma delle probabilità di due eventi complementari è uguale a 1. Ciò significa che 2 eventi con questa caratteristica coprono completamente la possibilità di eventi di un esperimento.

Quali sono gli eventi complementari?

Un caso generico molto utile per capire questo tipo di evento è quello di lanciare un dado:

Quando si definisce lo spazio campione, vengono nominati tutti i possibili casi proposti dall'esperimento. Questo set è noto come l'universo.

Spazio campione (S):

S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Le opzioni non specificate nello spazio campione non fanno parte delle possibilità dell'esperimento. Ad esempio { che esce il numero sette} Ha una probabilità pari a zero.

Secondo l'obiettivo della sperimentazione, set e sottoinsiemi sono definiti se necessario. Anche la notazione impostata da utilizzare viene determinata in base all'obiettivo o parametro da studiare:

A: { Esce da un numero pari} = {2, 4, 6}

B: { Esci da un numero dispari } = {1, 3, 5}

In questo caso A e B sono eventi complementari. Perché entrambi i set si escludono a vicenda (un numero pari che è dispari non può uscire a turno) e l'unione di questi set copre l'intero spazio del campione.

Altri sottoinsiemi possibili nell'esempio precedente sono:

C : { Exit a prime number } = {2, 3, 5}

D: {x / x Ԑ N ᴧ x ˃ 3} = {4, 5, 6}

Gli insiemi A, B e C sono scritti rispettivamente in notazione descrittiva e analitica . Per l'insieme D è stata utilizzata la notazione algebrica, descrivendo quindi i possibili risultati corrispondenti all'esperimento in notazione analitica .

Si osserva nel primo esempio che si tratta di eventi complementari A e B.

A: { Esce da un numero pari} = {2, 4, 6}

B: { Esci da un numero dispari } = {1, 3, 5}

I seguenti assiomi sono soddisfatti:

AUB = S ; L'unione di due eventi complementari è uguale allo spazio campione
A ∩B = ∅ ; L'intersezione di due eventi complementari è uguale al set vuoto
A '= B ᴧ B' = A; Ogni sottoinsieme è uguale al complemento della sua controparte
A '∩ A = B' ∩ B = ∅ ; Interseca un insieme con il suo complemento è uguale a vuoto
A 'UA = B' UB = S; Unire un set con il suo complemento è uguale allo spazio campione

Nelle statistiche e negli studi probabilistici, gli eventi complementari fanno parte della teoria generale, essendo molto comuni tra le operazioni svolte in quest'area.

Per saperne di più sugli eventi complementari, è necessario comprendere alcuni termini che li aiutano a definirli concettualmente.

Quali sono gli eventi?

Sono possibilità ed eventi derivanti da una sperimentazione, in grado di offrire risultati in ciascuna delle loro iterazioni. Gli eventi generano i dati da registrare come elementi di insiemi e sottoinsiemi, le tendenze in questi dati sono motivo di studio per probabilità.

Esempi di eventi sono:

La faccia a punta di moneta
La partita ha portato a un pareggio
Il chimico ha reagito in 1, 73 secondi
La velocità al punto massimo era 30 m / s
Il numero del fotogramma die

Cos'è un supplemento?

Rispetto alla teoria degli insiemi. Un Complemento si riferisce alla porzione di spazio campione, che deve essere aggiunto a un set in modo che comprenda il suo universo. È tutto ciò che non fa parte del tutto.

Un modo ben noto per indicare il complemento nella teoria degli insiemi è:

Un 'complemento di A

Diagramma di Venn

È uno schema grafico - contenuto analitico, ampiamente utilizzato nelle operazioni matematiche che coinvolgono insiemi, sottoinsiemi ed elementi. Ogni set è rappresentato da una lettera maiuscola e una figura ovale (questa funzione non è obbligatoria nel suo utilizzo) che contiene ciascuno dei suoi elementi.

Gli eventi complementari possono essere visti direttamente nei diagrammi di Venn, poiché il loro metodo grafico consente di identificare i complementi corrispondenti a ciascun set.

Basta visualizzare completamente l'ambiente di un set, tralasciando il suo bordo e la sua struttura interna, permette di dare una definizione al complemento del set studiato.

Esempi di eventi complementari

Esempi di eventi complementari sono il successo e la sconfitta in un evento in cui l'uguaglianza non può esistere (una partita di baseball).

Le variabili booleane sono eventi complementari: vero o falso, ugualmente corretto o errato, chiuso o aperto, acceso o spento.

Esercizi di eventi complementari

Esercizio 1

Sia S l'universo definito da tutti i numeri naturali minori o uguali a dieci.

S: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Sono definiti i seguenti sottoinsiemi di S

H: {Numeri naturali meno di quattro} = {0, 1, 2, 3}

J: {Multipli di tre} = {3, 6, 9}

K: {multipli di cinque} = {5}

L: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}

M: {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}

N: {Numeri naturali maggiori o uguali a quattro} = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

determinare:

Quanti eventi complementari possono essere formati collegando coppie di sottoinsiemi di S ?

Secondo la definizione di eventi complementari, le coppie che soddisfano i requisiti sono identificate (si escludono a vicenda e coprono lo spazio campionario quando si uniscono). Le seguenti coppie di sottoinsiemi sono eventi complementari :

H e N
J e M
L e K

Esercizio 2

Dimostra che: (M ∩ K) '= L

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {5} = {5}; L'intersezione tra insiemi produce come risultato gli elementi comuni tra entrambi i gruppi operativi. In questo modo 5 è l'unico elemento comune tra M e K.

{5} '= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} = L; Poiché L e K sono complementari, il terzo assioma descritto sopra è soddisfatto ( ogni sottoinsieme è uguale al complemento della sua controparte)

Esercizio 3

Definire: [(J ∩ H) UN] '

J ∩ H = {3} ; In modo omologo al primo passo dell'esercizio precedente.

(J ∩ H) UN = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; Queste operazioni sono conosciute come combinate e di solito sono trattate con un diagramma di Venn.

[(J ∩ H) UN] ' = {0, 1, 2}; Il complemento dell'operazione combinata è definito.

Esercizio 4

Dimostra che: { [HUN] ∩ [JUM] ∩ [LUK]} '= ∅

L'operazione composita descritta all'interno dei tasti, fa riferimento alle intersezioni tra le giunzioni degli eventi complementari. In questo modo procediamo a verificare il primo assioma ( L'unione di due eventi complementari è uguale allo spazio campione).

[HUN] ∩ [JUM] ∩ [LUK] = S ∩ S ∩ S = S; L'unione e l'intersezione di un insieme con se stessa genera lo stesso insieme.

poi; S '= ∅ Per definizione di serie.