Funzione iniettiva: in cosa consistono, a cosa servono ed esempi con esercizi risolti

Una funzione iniettiva è tutta la relazione di elementi del dominio con un singolo elemento del codominio. Conosciuto anche come funzione one-to-one ( 1 - 1 ), fa parte della classificazione delle funzioni rispetto al modo in cui i loro elementi sono correlati.

Un elemento del codominio può essere solo l'immagine di un singolo elemento del dominio, in questo modo i valori della variabile dipendente non possono essere ripetuti.

Un chiaro esempio potrebbe essere quello di raggruppare gli uomini con il lavoro in un gruppo A e in un gruppo B con tutti i leader. La funzione F sarà quella che associa ogni lavoratore al suo capo. Se ogni lavoratore è associato a un capo diverso attraverso F, allora F sarà una funzione iniettiva .

Per considerare una funzione come iniettiva, deve essere soddisfatto quanto segue:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Questo è il modo algebrico di dire Per tutti x ₁ diversi da x ₂ abbiamo una F (x ₁ ) diversa da F (x ₂ ).

A cosa servono le funzioni iniettive?

L'iniettività è una proprietà di funzioni continue, poiché assicurano l'assegnazione di immagini per ogni elemento del dominio, un aspetto essenziale nella continuità di una funzione.

Quando si disegna una linea parallela all'asse X sul grafico di una funzione iniettiva, solo il grafico dovrebbe essere toccato in un singolo punto, indipendentemente da quale altezza o ampiezza di Y viene disegnata la linea. Questo è il modo grafico per testare l'iniettività di una funzione.

Un altro modo per verificare se una funzione è iniettiva, è cancellare la variabile indipendente X in termini della variabile dipendente Y. Quindi è necessario verificare se il dominio di questa nuova espressione contiene i numeri reali, allo stesso tempo per ogni valore di Y C'è solo un valore di X.

Le funzioni o le relazioni di ordine obbediscono, tra le altre forme, alla notazione F: D _f → C _f

Questo è letto F che va da D _f a C _f

Dove la funzione F fa riferimento ai set Dominio e Codominio. Conosciuto anche come set di partenza e set di arrivo.

Il dominio D _f contiene i valori consentiti per la variabile indipendente. Il codominio C _f è formato da tutti i valori disponibili per la variabile dipendente. Gli elementi di C _f relativi a D _f sono noti come Gamma funzioni (R _f ).

Condizionamento di funzioni

A volte una funzione che non è iniettiva può essere soggetta a determinate condizioni. Queste nuove condizioni possono trasformarlo in una funzione iniettiva. Sono validi tutti i tipi di modifiche al dominio e al codice della funzione, in cui l'obiettivo è quello di rispettare le proprietà di iniettività nella relazione corrispondente.

Esempi di funzioni iniettive con esercizi risolti

Esempio 1

Lasciare che la funzione F: R → R sia definita dalla linea F (x) = 2x - 3

A: [Tutti i numeri reali]

Si osserva che per ogni valore del dominio c'è un'immagine nel codominio. Questa immagine è unica e rende F una funzione iniettiva. Questo vale per tutte le funzioni lineari (funzioni il cui grado più alto della variabile è uno).

Esempio 2

Lascia che la funzione F: R → R sia definita da F (x) = x2 +1

Quando si disegna una linea orizzontale, si osserva che il grafico si trova in più di un'occasione. Per questo motivo, la funzione F non è iniettiva fintanto che R → R è definito

Procediamo a condizionare il dominio della funzione:

F: R + U {0} → R

Ora la variabile indipendente non assume valori negativi, evitando così di ripetere i risultati e la funzione F: R + U {0} → R definita da F (x) = x2 + 1 è iniettiva .

Un'altra soluzione omologa sarebbe quella di delimitare il dominio da sinistra, cioè di limitare la funzione a prendere solo valori negativi e zero.

Procediamo per condizionare il dominio della funzione

F: R- U {0} → R

Ora la variabile indipendente non assume valori negativi, questo evita risultati ripetuti e la funzione F: R- U {0} → R definita da F (x) = x2 + 1 è iniettiva .

Le funzioni trigonometriche hanno comportamenti simili alle onde, dove è molto comune trovare ripetizioni di valori nella variabile dipendente. Attraverso condizionamenti specifici, basati sulla conoscenza precedente di queste funzioni, possiamo limitare il dominio a soddisfare le condizioni di iniettività.

Esempio 3

Lascia che la funzione F sia: [- π / 2, π / 2 ] → R definito da F (x) = Cos (x)

Nell'intervallo [- π / 2 → π / 2 ] la funzione coseno varia i suoi risultati tra zero e uno.

Come mostrato nel grafico. Inizia da zero a x = - π / 2 quindi raggiungi un massimo a zero. È dopo x = 0 che i valori iniziano a ripetersi, fino a ritornare a zero in x = π / 2. In questo modo è noto che F (x) = Cos (x) non è iniettivo per l'intervallo [- π / 2, π / 2 ] .

Quando studiamo il grafico della funzione F (x) = Cos (x), osserviamo intervalli in cui il comportamento della curva si adatta ai criteri di iniettività. Come per esempio l'intervallo

[0, π ]

Dove la funzione varia risultati da 1 a -1, senza ripetere alcun valore nella variabile dipendente.

In questo modo la funzione funzione F: [0, π ] → R definito da F (x) = Cos (x). È iniettivo

Ci sono funzioni non lineari in cui vengono presentati casi simili. Per espressioni di tipo razionale, in cui il denominatore ospita almeno una variabile, esistono restrizioni che impediscono l'iniettività della relazione.

Esempio 4

Lascia che la funzione F: R → R sia definita da F (x) = 10 / x

La funzione è definita per tutti i numeri reali tranne {0} che ha un'indeterminatezza (non può essere divisa per zero) .

Quando si avvicina lo zero a sinistra, la variabile dipendente assume valori negativi molto grandi e immediatamente dopo zero i valori della variabile dipendente assumono cifre positive grandi.

Questa interruzione provoca l'espressione F: R → R definita da F (x) = 10 / x

Non essere iniettivo.

Come si è visto negli esempi precedenti, l'esclusione dei valori nel dominio serve a "riparare" queste indeterminazioni. Procediamo ad escludere lo zero del dominio, lasciando i set di partenza e di arrivo definiti come segue:

R - {0} → R

Dove R - {0} simboleggia i reali ad eccezione di un insieme il cui unico elemento è zero.

In questo modo l'espressione F: R - {0} → R definita da F (x) = 10 / x è iniettiva.

Esempio 5

Lascia che la funzione F sia: [0, π ] → R definito da F (x) = Sen (x)

Nell'intervallo [0, π ] la funzione seno varia i suoi risultati tra zero e uno.

Come mostrato nel grafico. Inizia da zero a x = 0, quindi raggiungi un massimo a x = π / 2. È dopo x = π / 2 che i valori iniziano a ripetersi, fino a ritornare a zero in x = π. In questo modo è noto che F (x) = Sen (x) non è iniettivo per l'intervallo [0, π ] .

Quando studiamo il grafico della funzione F (x) = Sen (x), osserviamo intervalli in cui il comportamento della curva si adatta ai criteri di iniettività. Come per esempio l'intervallo [ π / 2 , 3π / 2 ]

Dove la funzione varia risultati da 1 a -1, senza ripetere alcun valore nella variabile dipendente.

In questo modo la funzione F: [ π / 2 , 3π / 2 ] → R definito da F (x) = Sen (x). È iniettivo

Esempio 6

Verificare se la funzione F: [0, ∞) → R definita da F (x) = 3x2 è iniettiva.

In questa occasione, il dominio di espressione è già limitato. Si osserva inoltre che i valori della variabile dipendente non vengono ripetuti in questo intervallo.

Pertanto, si può concludere che F: [0, ∞) → R definito da F (x) = 3x2 è iniettivo

Esempio 7

Identificare quale delle seguenti funzioni è

1. È iniettivo. Gli elementi associati del codominio sono unici per ogni valore della variabile indipendente.
2. Non è iniettivo. Vi sono elementi del codominio associati a più di un elemento dell'insieme di partenza.
3. È iniettivo
4. Non è iniettivo

Esercizi proposti per classe / casa

Verificare se le seguenti funzioni sono iniettive:

F: [0, ∞) → R definito da F (x) = (x + 3) 2

F: [ π / 2 , 3π / 2 ] → R definito da F (x) = Tan (x)

F: [- π , π ] → R definito da F (x) = Cos (x + 1)

F: R → R definito dalla linea F (x) = 7x + 2