Funzione superjective: definizione, proprietà, esempi ed esercizi

Una funzione overject è ogni relazione in cui ogni elemento che appartiene al codominio è l'immagine di almeno un elemento del dominio. Conosciuto anche come funzione, fanno parte della classificazione delle funzioni rispetto al modo in cui i loro elementi sono correlati.

Ad esempio, una funzione F: A → B definita da F (x) = 2x

Che legge " F che va da A a B definito da F (x) = 2x"

È necessario definire i set di partenza e arrivo A e B.

A: {1, 2, 3, 4, 5} Ora i valori o le immagini che verranno lanciati da ciascuno di questi elementi quando valutati in F, saranno gli elementi del codominio.

F (1) = 2

F (2) = 4

F (3) = 6

F (4) = 8

F (5) = 10

Formare il set B: {2, 4, 6, 8, 10}

Si può concludere che:

F: {1, 2, 3, 4, 5} → {2, 4, 6, 8, 10} definito da F (x) = 2x È una funzione di sovrapposizione

Ogni elemento del codominio deve risultare da almeno una operazione della variabile indipendente attraverso la funzione in questione. Non c'è limite alle immagini, un elemento del codominio può essere l'immagine di più di un elemento del dominio e deve ancora essere trattato come una funzione overjective .

L'immagine mostra 2 esempi con funzioni superjective .

Nel primo si osserva che le immagini possono essere riferite dallo stesso elemento, senza compromettere l'eccessiva attività della funzione.

Nel secondo vediamo un'equa distribuzione tra dominio e immagini. Ciò dà origine alla funzione biettiva, in cui devono essere soddisfatti i criteri della funzione iniettiva e della funzione suriettiva.

Un altro metodo per identificare le funzioni suriettive è verificare se il codominio è uguale all'intervallo della funzione. Ciò significa che se il set di arrivo è uguale alle immagini fornite dalla funzione quando si valuta la variabile indipendente, la funzione è suriettiva.

proprietà

Per considerare un progetto come coperto, è necessario soddisfare quanto segue:

Sia F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Questo è il modo algebrico per stabilire che per tutta la "b" che appartiene a C _f esiste un "a" che appartiene a D _f tale che, la funzione F valutata in "a" è uguale a "b".

La sobrietà è una particolarità delle funzioni, dove il codominio e il rango sono simili. Pertanto, gli elementi valutati nella funzione costituiscono il set di arrivo.

Condizionamento di funzioni

A volte una funzione che non è suriettiva, può essere soggetta a determinate condizioni. Queste nuove condizioni possono trasformarlo in una funzione suriettiva.

Sono validi tutti i tipi di modifiche al dominio e al codice della funzione, in cui l'obiettivo è quello di rispettare le proprietà di sovra-attività nella relazione corrispondente.

Esempi: esercizi risolti

Per soddisfare le condizioni di eccessiva attività, devono essere applicate diverse tecniche di condizionamento, al fine di garantire che ogni elemento del codominio sia all'interno dell'insieme di immagini della funzione.

Esercizio 1

Lascia che la funzione F: R → R sia definita dalla linea F (x) = 8 - x

A: [Tutti i numeri reali]

In questo caso la funzione descrive una linea continua, che copre tutti i numeri reali sia nel dominio che nell'intervallo. Poiché l'intervallo della funzione R _f è uguale al codominio R, si può concludere che:

F: R → R definito dalla linea F (x) = 8 - x è una funzione suriettiva.

Questo vale per tutte le funzioni lineari (funzioni il cui grado più alto della variabile è uno).

Esercizio 2

Studia la funzione F: R → R definita da F (x) = x2 : Definisci se è una funzione suriettiva . Se non lo è, mostra le condizioni necessarie per renderlo superjective.

La prima cosa da tenere in considerazione è il codominio di F, che è composto dai numeri reali R. Non esiste alcun modo per la funzione di produrre valori negativi, il che esclude i reali negativi tra le possibili immagini.

Condizionare il codominio fino all'intervallo [0, ∞ ]. Si evita di lasciare elementi del codominio senza relazionarsi con F.

Le immagini vengono ripetute per coppie di elementi della variabile indipendente, come x = 1 e x = - 1. Ma questo influenza solo l' iniettività della funzione, non essendo un problema per questo studio.

In questo modo si può concludere che:

F: R → [0, ∞ ) definito da F (x) = x2 È una funzione di sovrapposizione

Esercizio 3

Definire le condizioni del codominio che sovrapporrebbe le funzioni

F: R → R definito da F (x) = Sen (x)

F: R → R definito da F (x) = Cos (x)

Il comportamento delle funzioni trigonometriche è simile a quello delle onde, essendo molto comune trovare ripetizioni della variabile dipendente tra le immagini. Inoltre nella maggior parte dei casi l'intervallo della funzione è limitato a uno o più settori della linea reale.

Questo è il caso delle funzioni Sine and Cosine. Dove i loro valori fluttuano nell'intervallo [-1, 1]. Questo intervallo deve condizionare il codominio per ottenere la sovra-attività della funzione.

F: R → [-1, 1] definito da F (x) = Sen (x) È una funzione di sovrapposizione

F: R → [-1, 1] definito da F (x) = Cos (x) È una funzione di sovrapposizione

Esercizio 4

Studia la funzione

F: [0, ∞ ) → R definito da F (x) = ± √x denota se si tratta di una funzione di sovrapposizione

La funzione F (x) = ± √x ha la particolarità che definisce 2 variabili dipendenti per ogni valore di "x". Cioè, l'intervallo riceve 2 elementi per ognuno che viene eseguito nel dominio. Un valore positivo e negativo deve essere verificato per ogni valore di "x".

Osservando il set iniziale si nota che il dominio è già stato limitato, questo per evitare le indeterminazioni prodotte quando si valuta un numero negativo all'interno di una radice pari.

Quando si controlla l'intervallo della funzione, si nota che ciascun valore del codominio appartiene all'intervallo.

In questo modo si può concludere che:

F: [0, ∞ ) → R definito da F (x) = ± √x È una funzione di sovrapposizione

Esercizio 4

Studia la funzione F (x) = Ln x denota se si tratta di una funzione di sovraiezione . Condizione l'arrivo e la partenza imposta per adattare la funzione ai criteri di overjetivity.

Come mostrato nel grafico, la funzione F (x) = Ln x è definito per valori di "x" maggiori di zero. Mentre i valori di "e" o le immagini possono assumere qualsiasi valore reale.

In questo modo possiamo limitare il dominio di F (x) = all'intervallo (0, ∞ )

Mentre l'intervallo della funzione può essere mantenuto come l'insieme dei numeri reali R.

Considerato ciò, si può concludere che:

F: [0, ∞ ) → R definito da F (x) = Ln x È una funzione di sovrapposizione

Esercizio 5

Studiare la funzione del valore assoluto F (x) = | x | e designare i set di arrivo e partenza che corrispondono ai criteri di overjetivity.

Il dominio della funzione è soddisfatto per tutti i numeri reali R. In questo modo l'unico condizionamento deve essere fatto nel codominio, tenendo conto che la funzione del valore assoluto assume solo valori positivi.

Procede a stabilire il codominio della funzione che lo eguaglia allo stesso intervallo

[0, ∞ )

Ora possiamo concludere che:

F: [0, ∞ ) → R definito da F (x) = | x | È una funzione di sovrapposizione