Spazio vettoriale: base e dimensione, assiomi, proprietà, esempi

Uno spazio vettoriale è un insieme non vuoto V = { u , v , w , ......}, i cui elementi sono vettori. Con loro, vengono effettuate alcune operazioni importanti, tra cui spiccano le seguenti:

- Somma tra due vettori u + v che risulta in z, che appartiene al set V.

- Moltiplicazione di un numero reale α per un vettore v : α v che dà un altro vettore e che appartiene a V.

Per indicare un vettore usiamo il grassetto ( v è un vettore), e per gli scalari o i numeri le lettere greche (α è un numero).

Assiomi e proprietà

Per essere uno spazio vettoriale, devono essere soddisfatti i seguenti otto assiomi:

1-Commutabilità: u + v = v + u

2-Transitività: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3-Esistenza del vettore nullo 0 tale che 0 + v = v

4-Esistenza del contrario: il contrario di v è (- v ), poiché v + (- v ) = 0

5-Distributività del prodotto rispetto alla somma del vettore: α ( u + v ) = α u + α v

6-Distributività del prodotto rispetto alla somma scalare: (α + β) v = α v + β v

7-Associatività del prodotto di scalari: α (β v ) = (α β) v

8: il numero 1 è l'elemento neutro poiché: 1 v = v

Esempi di spazi vettoriali

Esempio 1

I vettori nel piano (R²) sono un esempio di spazio vettoriale. Un vettore nel piano è un oggetto geometrico che ha grandezza e direzione. È rappresentato da un segmento orientato che appartiene a detto piano e con una dimensione proporzionale alla sua grandezza.

La somma di due vettori nel piano può essere definita come l'operazione geometrica di traduzione del secondo vettore dopo il primo. Il risultato della somma è il segmento orientato che inizia dall'origine del primo e raggiunge la punta del secondo.

Nella figura si può notare che la somma in R² è commutativa.

Il prodotto di un numero α è anche definito da un vettore. Se il numero è positivo, viene mantenuta la direzione del vettore originale e la dimensione è α volte il vettore originale. Se il numero è negativo, l'indirizzo è l'opposto e la dimensione del vettore risultante è il valore assoluto del numero.

Il vettore opposto a un vettore qualsiasi v è - v = (- 1) v .

Il vettore nullo è un punto nel piano R² e il numero zero di un vettore risulta nel vettore nullo.

Tutto ciò che viene detto è illustrato nella Figura 2.

Esempio 2

L'insieme P di tutti i polinomi di grado inferiore o uguale a due, compreso il grado zero, forma un insieme che soddisfa tutti gli assiomi di uno spazio vettoriale.

Lascia che il polinomio P (x) = a x² + bx + c e Q (x) = d x² + ex + f

La somma di due polinomi è definita: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

La somma dei polinomi appartenenti all'insieme P è commutativa e transitiva.

Il polinomio nullo appartenente all'insieme P è quello che ha tutti i suoi coefficienti uguali a zero:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

La somma di uno scalare α è definita da un polinomio come: α P (x) = α ∙ a x ² + α ∙ bx + α ∙ c

Il polinomio opposto di P (x) è -P (x) = (-1) P (x).

Da tutto quanto sopra consegue che l'insieme P di tutti i polinomi di grado inferiore o uguale a due, è uno spazio vettoriale.

Esempio 3

L'insieme M di tutte le matrici di m righe xn colonne i cui elementi sono numeri reali formano uno spazio vettoriale reale, rispetto alle operazioni di aggiunta di matrici e prodotto di un numero da una matrice.

Esempio 4

L'insieme F delle funzioni continue della variabile reale forma uno spazio vettoriale, poiché è possibile definire la somma di due funzioni, la moltiplicazione di uno scalare per una funzione, la funzione nulla e la funzione simmetrica. Soddisfano anche gli assiomi che caratterizzano uno spazio vettoriale.

Base e dimensione di uno spazio vettoriale

base

La base di uno spazio vettoriale è definita come un insieme di vettori linearmente indipendenti tale che qualsiasi vettore di quello spazio vettoriale può essere generato da una combinazione lineare di essi.

Combinare linearmente due o più vettori è moltiplicare i vettori per alcuni scalari e quindi aggiungerli vettorialmente.

Ad esempio, la base canonica definita dai vettori unitari (di magnitudine 1) i, j, k viene utilizzata nello spazio vettoriale di tre dimensioni formato da R³.

Dove i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Questi sono i vettori cartesiani o canonici.

Ogni vettore V appartenente a R3 è scritto come V = a i + b j + c k, che è una combinazione lineare dei vettori di base i, j, k . Gli scalari oi numeri a, b, c sono noti come componenti cartesiani di V.

Si dice anche che i vettori di base di uno spazio vettoriale formano un gruppo elettrogeno dello spazio vettoriale.

dimensione

La dimensione di uno spazio vettoriale è il numero cardinale di una base vettoriale per detto spazio; cioè, il numero di vettori che compongono detta base.

Questo cardinale è il numero massimo di vettori linearmente indipendenti di quello spazio vettoriale, e allo stesso tempo il numero minimo di vettori che formano un gruppo elettrogeno di detto spazio.

Le basi di uno spazio vettoriale non sono uniche, ma tutte le basi dello stesso spazio vettoriale hanno la stessa dimensione.

Sottospazio vettoriale

Un sottospazio vettoriale S di uno spazio vettoriale V è un sottoinsieme di V in cui le stesse operazioni sono definite come in V e soddisfano tutti gli assiomi dello spazio vettoriale. Pertanto, il sottospazio S sarà anche uno spazio vettoriale.

Esempio di sottospazio vettoriale sono i vettori che appartengono al piano XY. Questo sottospazio è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale di dimensionalità maggiore dell'insieme di vettori appartenenti allo spazio tridimensionale XYZ.

Un altro esempio di sottospazio vettoriale S1 dello spazio vettoriale S formato da tutte le matrici 2 × 2 con elementi reali è quello definito di seguito:

Invece S2 definito di seguito, sebbene sia un sottoinsieme di S, non forma un sottospazio vettoriale:

Esercizi risolti

-Esercizio 1

Lascia che i vettori V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) e V3 = (0, 0, 3) in R³.

a) Dimostra che sono linearmente indipendenti.

b) Dimostra che formano una base in R³, poiché qualsiasi tripla (x, y, z) può essere scritta come una combinazione lineare di V1, V2, V3.

c) Trova i componenti della tripla V = (-3, 5, 4) nella base V1, V2, V3 .

soluzione

Il criterio per dimostrare l'indipendenza lineare consiste nello stabilire il seguente insieme di equazioni in α, β e γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

Nel caso in cui l'unica soluzione a questo sistema sia α = β = γ = 0 allora i vettori sono linearmente indipendenti, altrimenti non lo sono.

Per ottenere i valori di α, β e γ proponiamo il seguente sistema di equazioni:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Il primo porta a α = 0, il secondo α = -2 ∙ β ma come α = 0 quindi β = 0. La terza equazione implica che γ = (- 1/3) β, ma come β = 0 allora γ = 0.

Risposta a

Si è concluso che si tratta di un insieme di vettori linearmente indipendenti in R³.

Risposta b

Ora scriviamo la tripla (x, y, z) come una combinazione lineare di V1, V2, V3.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Dove hai:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

Il primo indica α = x, il secondo β = (yx) / 2 e il terzo γ = (z- e / 2 + x / 2) / 3. In questo modo abbiamo trovato i generatori di α, β e γ di qualsiasi tripla di R³

Risposta c

Troviamo i componenti della tripla V = (-3, 5, 4) nella base V1, V2, V3 .

Sostituiamo i valori corrispondenti nelle espressioni trovate in precedenza per i generatori.

In questo caso abbiamo: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Quello è, quello:

(-3, 5, 4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Infine:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Concludiamo che V1, V2, V3 formano una base nello spazio vettoriale R³ della dimensione 3.

-Esercizio 2

Esprimere il polinomio P (t) = t² + 4t -3 come combinazione lineare di P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t e P3 (t) = t + 3.

soluzione

P (t) = x P1 (t) + e P2 (t) + z P3 (t)

dove i numeri x, y, z devono essere determinati.

Moltiplicando e raggruppando termini con lo stesso grado in si ottiene:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Il che ci porta al seguente sistema di equazioni:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Le soluzioni di questo sistema di equazioni sono:

x = -3, y = 2, z = 4.

Quello è, quello:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-Esercizio 3

Mostra che i vettori v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) e v3 = (2, 1, -1, 1) di R⁴ sono linearmente indipendenti.

soluzione

Combiniamo linearmente i tre vettori v1, v2, v3 e richiediamo che la combinazione aggiunga l'elemento nullo di R⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

Voglio dire,

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Questo ci porta al seguente sistema di equazioni:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Sottraendo il primo e il quarto abbiamo: -a + c = 0 ciò che implica a = c.

Ma se guardi la terza equazione, abbiamo a = -c. L'unico modo per ottenere a = c = (- c) è che c è 0 e quindi anche a sarà 0.

a = c = 0

Se sostituiamo questo risultato nella prima equazione, concludiamo che b = 0.

Infine a = b = c = 0, quindi possiamo concludere che i vettori v1, v2 e v3 sono linearmente indipendenti.