Limite di Fermat: in cosa consiste ed esercizi risolti
Il limite di Fermat è un metodo numerico utilizzato per ottenere il valore della pendenza di una linea, che è tangente a una funzione in un dato punto nel suo dominio. Viene anche utilizzato per ottenere punti critici di una funzione. La sua espressione è definita come:
È ovvio che Fermat non conoscesse le basi della derivazione, tuttavia furono i suoi studi a spingere un gruppo di matematici a indagare sulle linee tangenti e le loro applicazioni nel calcolo.
Qual è il limite di Fermat?
Consiste in un approccio di 2 punti, che in condizioni precedenti formano una linea secante con la funzione con intersezione in coppie di valori.
Quando si avvicina la variabile al valore "a", la coppia di punti da trovare è forzata. In questo modo la linea precedentemente secante diventa tangente al punto (a; f (a)).
Il valore del quoziente (x - a), quando valutato nel punto "a", produce un'indeterminazione dei limiti di tipo K tra zero (K / 0). Dove, attraverso diverse tecniche di factoring, queste indeterminazioni possono essere infrante.
Le tecniche operative più utilizzate sono:
-Differenza dei quadrati (a2 - b2) = (a + b) (a - b); L'esistenza dell'elemento (a-b) implica in molti casi il fattore che semplifica l'espressione (x-a) nel quoziente del limite di Fermat.
- Completamento dei quadrati (ax2 + bx); Dopo aver completato i quadrati si ottiene un binomio di Newton, in cui uno dei suoi 2 fattori viene semplificato con l'espressione (x - a), rompendo l'indeterminazione.
- Coniugato (a + b) / (a + b); Moltiplicare e dividere l'espressione dal coniugato di alcuni fattori può essere di grande aiuto per rompere l'indeterminazione.
- Fattore comune; In molti casi il risultato del funzionamento del limite numerico Fermat f (x) - f (a) nasconde il fattore (x - a) necessario per il fattore. Per questo si osserva attentamente quali elementi si ripetono in ogni fattore dell'espressione.
Applicazione del limite di Fermat per il massimo e il minimo
Anche se il limite di Fermat non distingue tra massimi e minimi, dal momento che può solo identificare i punti critici secondo la sua definizione, è comunemente usato nel calcolo delle fermate o dei piani delle funzioni nel piano.
Una conoscenza di base della teoria grafica delle funzioni in combinazione con questo teorema può essere sufficiente per stabilire i valori massimi e minimi tra le funzioni. In effetti, i punti di inflessione possono essere definiti dal teorema del valore medio oltre al teorema di Fermat.
La parabola cubica
Il paradosso più significativo per Fermat è venuto dallo studio della parabola cubica. Poiché la sua attenzione era diretta alle linee tangenti di una funzione per un dato punto, egli incontrò il problema di definire detta linea tangente nel punto di flesso esistente nella funzione.
Sembrava impossibile determinare la linea tangente in un punto. Inizia così l'indagine che darebbe origine al calcolo differenziale. Definito in seguito da importanti esponenti della matematica.
Massimo e minimo
Lo studio del massimo e del minimo di una funzione era una sfida per la matematica classica, dove era necessario un metodo chiaro e pratico per la definizione di questi.
Fermat ha creato un metodo basato sull'esecuzione di piccoli valori differenziali che, dopo i processi di factoring, vengono eliminati lasciando il posto al valore massimo e minimo richiesto.
Questa variabile dovrà essere valutata nell'espressione originale per determinare la coordinata di detto punto, che insieme ai criteri analitici sarà definita come massima o minima dell'espressione.
metodo
Nel suo metodo, Fermat usa il simbolismo letterale di Vieta, che consisteva nell'uso esclusivo di lettere maiuscole: vocali, per le incognite e consonanti per le quantità conosciute.
Nel caso di valori radicali, Fermat ha implementato un particolare processo, che in seguito sarebbe stato utilizzato nelle fattorizzazione dei limiti di infinita indeterminatezza tra l'infinito.
Questo processo consiste nel dividere ciascuna espressione per il valore del differenziale usato. Nel caso di Fermat ha usato la lettera E, dove dopo la divisione tra la maggiore potenza di E, il valore ricercato del punto critico diventa chiaro.
storia
Il limite di Fermat è infatti uno dei contributi di minore popolarità nella lunga lista del matematico. I suoi studi andavano dai numeri primi, fondamentalmente a creare le basi per il calcolo.
Allo stesso tempo, Fermat era noto per le sue eccentricità riguardo alle sue ipotesi. Era normale per lui lasciare una sorta di sfida agli altri matematici del tempo, quando aveva già la soluzione o la dimostrazione.
Aveva una grande varietà di dispute e alleanze con diversi matematici del tempo, che amava o odiava lavorare con lui.
Il suo ultimo teorema era principalmente responsabile della sua fama mondiale, dove sosteneva che una generalizzazione del teorema di Pitagora per qualsiasi grado "n" era impossibile. Ha detto di avere una valida dimostrazione di ciò, ma è morto prima di renderlo pubblico.
Questa dimostrazione ha dovuto attendere circa 350 anni. Nel 1995 i matematici Andrew Wiles e Richard Taylor, misero fine all'ansia lasciata da Fermat, dimostrando che aveva ragione con una valida dimostrazione del suo ultimo teorema.
formazione
Esercizio 1
Definire la pendenza della linea tangente alla curva f (x) = x2 nel punto (4, 16)
Sostituendo nell'espressione del limite di Fermat abbiamo:
I fattori sono semplificati (x - 4)
Quando valuti hai
M = 4 + 4 = 8
Esercizio 2
Definisci il punto critico dell'espressione f (x) = x2 + 4x usando il limite di Fermat
Viene creato un raggruppamento strategico di elementi, cercando di raggruppare le coppie XX 0
I minimi quadrati sono sviluppati
Il fattore comune XX 0 è osservato ed estratto
Ora l'espressione può essere semplificata e l'indeterminazione può essere interrotta
Nei punti minimi è noto che la pendenza della linea tangente è uguale a zero. In questo modo possiamo uguagliare l'espressione trovata a zero e cancellare il valore X 0
2 X 0 + 4 = 0
X 0 = -4/2 = -2
Per ottenere la coordinata mancante è necessario solo valutare il punto nella funzione originale
F (-2) = (-2) 2 + 4 (-2) = 4 - 8 = - 4
Il punto critico è P (-2, -4).
