Quante soluzioni ha un'equazione quadratica?
Un'equazione quadratica o un'equazione di secondo grado possono avere zero, una o due soluzioni reali, a seconda dei coefficienti che appaiono in detta equazione.
Se lavori su numeri complessi, allora puoi dire che ogni equazione quadratica ha due soluzioni.
Per iniziare un'equazione quadratica è un'equazione della forma ax² + bx + c = 0, dove a, b e c sono numeri reali e x è una variabile.
Si dice che x1 sia una soluzione dell'equazione quadratica precedente se la sostituzione di x con x1 soddisfa l'equazione, cioè se a (x1) ² + b (x1) + c = 0.
Se si dispone ad esempio dell'equazione x²-4x + 4 = 0, allora x1 = 2 è la soluzione poiché (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.
Al contrario, se x2 = 0 è sostituito, otteniamo (0) ²-4 (0) + 4 = 4 e come 4 ≠ 0 allora x2 = 0 non è una soluzione dell'equazione quadratica.
Soluzioni di un'equazione quadratica
Il numero di soluzioni di un'equazione quadratica può essere separato in due casi:
1.- Nei numeri reali
Quando si lavora con numeri reali, le equazioni quadratiche possono avere:
- Soluzioni: ovvero, non esiste un numero reale che soddisfi l'equazione quadratica. Ad esempio, l'equazione data dall'equazione x² + 1 = 0, non esiste alcun numero reale tale che soddisfi questa equazione, poiché entrambi x² è maggiore o uguale a zero e 1 è maggiore di zero, quindi la sua somma sarà maggiore rigoroso che zero.
- Una soluzione ripetuta: esiste un singolo valore reale che soddisfa l'equazione quadratica. Ad esempio, l'unica soluzione all'equazione x²-4x + 4 = 0 è x1 = 2.
-Due diverse soluzioni: ci sono due valori che soddisfano l'equazione quadratica. Ad esempio, x² + x-2 = 0 ha due soluzioni diverse che sono x1 = 1 e x2 = -2.
2.- Nei numeri complessi
Quando si lavora con numeri complessi le equazioni quadratiche hanno sempre due soluzioni che sono z1 e z2 dove z2 è il coniugato di z1. Inoltre possono essere classificati in:
-Complessi: le soluzioni sono nella forma z = p ± qi, dove p e q sono numeri reali. Questo caso corrisponde al primo caso della lista precedente.
Complessi puri: è quando la parte reale della soluzione è uguale a zero, cioè la soluzione ha la forma z = ± qi, dove q è un numero reale. Questo caso corrisponde al primo caso della lista precedente.
-Complessi con parte immaginaria uguale a zero: è quando la parte complessa della soluzione è uguale a zero, cioè la soluzione è un numero reale. Questo caso corrisponde agli ultimi due casi dell'elenco precedente.
Come vengono calcolate le soluzioni di un'equazione quadratica?
Per calcolare le soluzioni di un'equazione quadratica, viene utilizzata una formula nota come "il resolver", che dice che le soluzioni di un'equazione ax² + bx + c = 0 sono date dall'espressione della seguente immagine:
La quantità che appare all'interno della radice quadrata è chiamata la discriminante dell'equazione quadratica ed è indicata dalla lettera "d".
L'equazione quadratica avrà:
-Due soluzioni reali se, e solo se, d> 0.
-Una soluzione reale ripetuta se, e solo se, d = 0.
-Vivi soluzioni reali (o due soluzioni complesse) se, e solo se, d <0.
Esempi:
-Le soluzioni dell'equazione x² + x-2 = 0 sono date da:
-L'equazione x²-4x + 4 = 0 ha una soluzione ripetuta che è data da:
-Le soluzioni dell'equazione x² + 1 = 0 sono date da:
Come si può vedere in questo ultimo esempio, x2 è il coniugato di x1.
