Cos'è un corollario in geometria?
Un corollario è un risultato molto usato in geometria per indicare un risultato immediato di qualcosa già dimostrato. Di solito, in geometria i corollari compaiono dopo la dimostrazione di un teorema.
Poiché è un risultato diretto di un teorema già dimostrato o di una definizione già nota, i corollari non richiedono prove. Questi risultati sono molto facili da verificare e pertanto la loro dimostrazione viene omessa.
I corollari sono termini che di solito si trovano principalmente nel campo della matematica. Ma non è limitato ad essere usato solo nell'area della geometria.
La parola corollario deriva dal latino Corollarium ed è comunemente usata in matematica, avendo una maggiore apparenza nelle aree della logica e della geometria.
Quando un autore usa un corollario, sta dicendo che questo risultato può essere scoperto o dedotto dal lettore da solo, usando come strumento un teorema o una definizione spiegata in precedenza.
Esempi di corollari
Di seguito sono due teoremi (che non saranno provati), ciascuno seguito da uno o più corollari che sono dedotti da detto teorema. Inoltre, viene allegata una breve spiegazione di come viene mostrato il corollario.
Teorema 1
In un triangolo rettangolo è soddisfatto che c² = a² + b², dove a, bec sono le gambe e l'ipotenusa del triangolo rispettivamente.
Corollario 1.1
L'ipotenusa di un triangolo rettangolo ha una lunghezza maggiore di qualsiasi gamba.
Spiegazione: quando si ha c² = a² + b², si può dedurre che c²> a² e c²> b², da cui si conclude che «c» sarà sempre maggiore di «a» e «b».
Teorema 2
La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180º.
Corollario 2.1
In un triangolo rettangolo, la somma degli angoli adiacenti all'ipotenusa è uguale a 90 °.
Spiegazione: in un triangolo rettangolo c'è un angolo retto, vale a dire che la sua misura è uguale a 90º. Usando il Teorema 2 hai 90º, più le misure degli altri due angoli adiacenti all'ipotenusa, è uguale a 180º. Al momento della cancellazione si otterrà che la somma delle misure degli angoli adiacenti è uguale a 90 °.
Corollario 2.2
In un triangolo rettangolo gli angoli adiacenti all'ipotenusa sono acuti.
Spiegazione: usando il corollario 2.1 abbiamo che la somma delle misure degli angoli adiacenti all'ipotenusa è uguale a 90 °, quindi, la misurazione di entrambi gli angoli deve essere inferiore a 90 ° e quindi, detti angoli sono acuti.
Corollario 2.3
Un triangolo non può avere due angoli retti.
Spiegazione: se un triangolo ha due angoli retti, l'aggiunta delle misure dei tre angoli risulterà in un numero maggiore di 180º e ciò non è possibile grazie al Teorema 2.
Corollario 2.4
Un triangolo non può avere più di un angolo ottuso.
Spiegazione: se un triangolo ha due angoli ottusi, quando si aggiungono le sue misure si otterrà un risultato maggiore di 180 °, che contraddice il Teorema 2.
Corollario 2.5
In un triangolo equilatero la misura di ciascun angolo è di 60º.
Spiegazione: un triangolo equilatero è anche equiangolare, quindi, se «x» è la misura di ogni angolo, quindi aggiungendo la misura dei tre angoli otterrà 3x = 180º, da cui si conclude che x = 60º.