Calcolo di approssimazioni utilizzando il differenziale

Un'approssimazione in matematica è un numero che non è il valore esatto di qualcosa, ma è così vicino che è considerato utile quanto quel valore esatto.

Quando le approssimazioni sono fatte in matematica, è perché manualmente è difficile (o talvolta impossibile) conoscere il valore preciso di ciò che si vuole.

Lo strumento principale quando si lavora con approssimazioni è il differenziale di una funzione.

Il differenziale di una funzione f, indicato con Δf (x), non è altro che la derivata della funzione f moltiplicata per il cambiamento nella variabile indipendente, cioè, Δf (x) = f '(x) * Δx.

A volte df e dx sono usati al posto di Δf e Δx.

Approcci usando il differenziale

La formula che viene applicata per fare un'approssimazione attraverso il differenziale nasce proprio dalla definizione della derivata di una funzione come limite.

Questa formula è data da:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Qui si intende che Δx = x-x0, quindi, x = x0 + Δx. Usando questo la formula può essere riscritta come

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Si noti che "x0" non è un valore arbitrario, ma è un valore tale che f (x0) è facilmente noto; Inoltre, "f (x)" è solo il valore che vogliamo approssimare.

Ci sono approcci migliori?

La risposta è sì La precedente è la più semplice delle approssimazioni chiamate «approssimazione lineare».

Per una migliore approssimazione della qualità (l'errore è più piccolo) vengono utilizzati polinomi con più derivati ​​chiamati "Taylor Polynomials", così come altri metodi numerici come il metodo Newton-Raphson, tra gli altri.

strategia

La strategia da seguire è:

- Scegliere una funzione appropriata f per eseguire l'approssimazione e il valore "x" tale che f (x) sia il valore da approssimare.

- Scegli un valore «x0», vicino a «x», in modo che f (x0) sia facile da calcolare.

- Calcola Δx = x-x0.

- Calcola la derivata della funzione e f '(x0).

- Sostituisci i dati nella formula.

Esercizi di approssimazione risolti

In quello che continua c'è una serie di esercizi in cui le approssimazioni sono fatte usando il differenziale.

Primo esercizio

Circa √3.

soluzione

Seguendo la strategia, deve essere scelta una funzione appropriata. In questo caso si può vedere che la funzione da scegliere deve essere f (x) = √xy e il valore approssimato è f (3) = √3.

Ora dobbiamo scegliere un valore "x0" vicino a "3" tale che f (x0) sia facile da calcolare. Scegliere "x0 = 2" significa che "x0" è vicino a "3" ma f (x0) = f (2) = √2 non è facile da calcolare.

Il valore di «x0» che è conveniente è «4», poiché «4» è vicino a «3» e anche f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Se "x = 3" e "x0 = 4", allora Δx = 3-4 = -1. Ora procediamo a calcolare la derivata di f. Cioè, f '(x) = 1/2 * √x, così che f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Sostituendo tutti i valori nella formula ottieni:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1, 75.

Se si usa una calcolatrice, si ottiene che √3≈1.73205 ... Questo mostra che il risultato precedente è una buona approssimazione del valore reale.

Secondo esercizio

Circa √10.

soluzione

Come prima, scegliamo come funzione f (x) = √xy e in questo caso x = 10.

Il valore di x0 che deve essere scelto in questa opportunità è «x0 = 9». Abbiamo quindi Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 e f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Quando si valuta nella formula si ottiene quello

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...

Usando una calcolatrice ottieni √10 ≈ 3.1622776 ... Qui puoi anche vedere che una buona approssimazione è stata ottenuta prima.

Terzo esercizio

Approssimativo ³√10, dove ³√ indica la radice cubica.

soluzione

Chiaramente la funzione che dovrebbe essere usata in questo esercizio è f (x) = ³√xy e il valore di «x» deve essere «10».

Un valore vicino a "10" tale che la sua radice cubica sia nota è "x0 = 8". Allora abbiamo che Δx = 10-8 = 2 ep (x0) = f (8) = 2. Abbiamo anche che f '(x) = 1/3 * ³√x², e di conseguenza f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Sostituendo i dati nella formula, si ottiene che:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ....

La calcolatrice dice che ³√10 ≈ 2.15443469 ... Pertanto, l'approssimazione trovata è buona.

Quarto esercizio

Approxime ln (1.3), dove «ln» indica la funzione del logaritmo naturale.

soluzione

Innanzitutto, viene scelta la funzione f (x) = ln (x) e il valore di «x» è 1.3. Ora, conoscendo un po 'la funzione logaritmica, possiamo sapere che ln (1) = 0, e anche «1» è vicino a «1.3». Pertanto, scegliamo «x0 = 1» e quindi Δx = 1, 3 - 1 = 0, 3.

D'altra parte f '(x) = 1 / x, così che f' (1) = 1. Quando valuti la formula indicata devi:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

Quando si usa una calcolatrice, si deve ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Quindi l'approssimazione fatta è buona.