Componenti rettangolari di un vettore (con esercizi)
I componenti rettangolari di un vettore sono i dati che compongono questo vettore. Per determinarli, è necessario avere un sistema di coordinate, che è generalmente il piano cartesiano.
Una volta che hai un vettore in un sistema di coordinate, puoi calcolarne i componenti. Questi sono 2, un componente orizzontale (parallelo all'asse X), chiamato "componente sull'asse X", e un componente verticale (parallelo all'asse Y), chiamato "componente sull'asse Y".
Per determinare i componenti, è necessario conoscere alcuni dati vettoriali come la sua magnitudine e l'angolo che forma con l'asse X.
Come determinare i componenti rettangolari di un vettore?
Per determinare questi componenti, è necessario conoscere alcune relazioni tra triangoli rettangoli e funzioni trigonometriche.
Nell'immagine seguente puoi vedere questa relazione.
Il seno di un angolo è uguale al quoziente tra la misura della gamba opposta all'angolo e la misurazione dell'ipotenusa.
D'altra parte, il coseno di un angolo è uguale al quoziente tra la misurazione della gamba adiacente all'angolo e la misurazione dell'ipotenusa.
La tangente di un angolo è uguale al quoziente tra la misurazione della gamba opposta e la misurazione della gamba adiacente.
In tutte queste relazioni è necessario stabilire il corrispondente triangolo rettangolo.
Ci sono altri metodi?
Sì. A seconda dei dati forniti, il modo per calcolare i componenti rettangolari di un vettore può variare. Un altro strumento che viene utilizzato molto è il teorema di Pitagora.
formazione
Nei seguenti esercizi viene messa in pratica la definizione dei componenti rettangolari di un vettore e le relazioni descritte sopra.
Primo esercizio
È noto che un vettore A ha una magnitudo pari a 12 e l'angolo che si forma con l'asse X ha una misura di 30 °. Determina i componenti rettangolari di detto vettore A.
soluzione
Se l'immagine è apprezzata e vengono utilizzate le formule sopra descritte, si può concludere che il componente sull'asse Y del vettore A è uguale a
sin (30 °) = Vy / 12, e quindi Vy = 12 * (1/2) = 6.
D'altra parte, abbiamo che il componente sull'asse X del vettore A è uguale a
cos (30 °) = Vx / 12, e quindi Vx = 12 * (√3 / 2) = 6√3.
Secondo esercizio
Se il vettore A ha un'ampiezza uguale a 5 e il componente sull'asse X è uguale a 4, determinare il valore del componente di A sull'asse y.
soluzione
Usando il Teorema di Pitagora, abbiamo che la grandezza del vettore A al quadrato è uguale alla somma dei quadrati dei due componenti rettangolari. Cioè, M² = (Vx) ² + (Vy) ².
Sostituendo i valori forniti, devi
5² = (4) ² + (Vy) ², quindi, 25 = 16 + (Vy) ².
Ciò implica che (Vy) ² = 9 e di conseguenza Vy = 3.
Terzo esercizio
Se il vettore A ha una magnitudo pari a 4 e questo forma un angolo di 45 ° con l'asse X, determina i componenti rettangolari di detto vettore.
soluzione
Usando le relazioni tra un triangolo rettangolo e le funzioni trigonometriche, si può concludere che il componente sull'asse Y del vettore A è uguale a
sin (45 °) = Vy / 4, e quindi Vy = 4 * (√2 / 2) = 2√2.
D'altra parte, abbiamo che il componente sull'asse X del vettore A è uguale a
cos (45 °) = Vx / 4, e quindi Vx = 4 * (√2 / 2) = 2√2.
