Movimento del pendolo: semplice pendolo, semplice movimento armonico
Un pendolo è un oggetto (idealmente una massa puntiforme) appeso a un filo (idealmente senza massa) di un punto fisso che oscilla grazie alla forza di gravità, quella misteriosa forza invisibile che, tra le altre cose, rimane attaccata all'universo.
Il movimento pendolare è quello che si verifica in un oggetto da un lato all'altro, sospeso da una fibra, cavo o filo. Le forze che intervengono in questo movimento sono la combinazione della forza di gravità (verticale, verso il centro della Terra) e della tensione del filo (direzione del filo).
È ciò che fanno gli orologi a pendolo (da cui il nome) o le altalene del parco giochi. In un pendolo ideale il movimento oscillatorio continuerebbe perpetuamente. In un pendolo reale, tuttavia, il movimento finisce col fermarsi nel tempo a causa dell'attrito con l'aria.
Pensare a un pendolo rende inevitabile evocare l'immagine dell'orologio pendolare, il ricordo di quel vecchio e imponente orologio della casa di campagna dei nonni. O forse il racconto del terrore di Edgar Allan Poe, Il pozzo e il pendolo la cui narrazione è ispirata a uno dei tanti metodi di tortura usati dall'Inquisizione spagnola.
La verità è che i diversi tipi di pendoli hanno diverse applicazioni oltre la misurazione del tempo, come, ad esempio, determinare l'accelerazione della gravità in un dato luogo e persino dimostrare la rotazione della Terra come fece il fisico francese Jean Bernard Léon Foucault.
Il semplice pendolo e il semplice movimento vibratorio armonico
Pendolo semplice
Il semplice pendolo, sebbene sia un sistema ideale, consente di effettuare un approccio teorico al movimento di un pendolo.
Sebbene le equazioni del movimento di un pendolo semplice possano essere alquanto complesse, la verità è che quando l'ampiezza ( A ), o spostamento dalla posizione di equilibrio, del movimento è piccola, può essere approssimata con le equazioni di un movimento armonico semplice che non siano eccessivamente complicati.
Semplice movimento armonico
Il semplice movimento armonico è un movimento periodico, cioè si ripete nel tempo. Inoltre, si tratta di un movimento oscillatorio la cui oscillazione avviene attorno a un punto di equilibrio, cioè a un punto in cui il risultato netto della somma delle forze applicate al corpo è zero.
In questo modo, una caratteristica fondamentale del movimento del pendolo è il suo periodo ( T ), che determina il tempo necessario per compiere un ciclo completo (o completa oscillazione). Il periodo di un pendolo è determinato dalla seguente espressione:
essendo, l = la lunghezza del pendolo; e, g = il valore dell'accelerazione di gravità.
Un'ampiezza relativa al periodo è la frequenza ( f ), che determina il numero di cicli che il pendolo percorre in un secondo. In questo modo, la frequenza può essere determinata dal periodo con la seguente espressione:
Dinamica del movimento del pendolo
Le forze che intervengono nel movimento sono il peso o la stessa forza di gravità ( P ) e la tensione del filo ( T ). La combinazione di queste due forze è ciò che causa il movimento.
Mentre la tensione è sempre diretta nella direzione del filo o della corda che unisce la massa al punto fisso e, quindi, non è necessario scomporla; il peso è sempre diretto verticalmente verso il centro di massa della Terra, e quindi è necessario scomporlo nelle sue componenti tangenziali, normali o radiali.
La componente tangenziale del peso P t = mg sin θ, mentre la componente normale del peso è P N = mg cos θ . Questo secondo è compensato dalla tensione del filo; La componente tangenziale del peso che agisce come forza di recupero è quindi alla fine responsabile del movimento.
Dislocamento, velocità e accelerazione
Lo spostamento di un semplice movimento armonico, e quindi del pendolo, è determinato dalla seguente equazione:
x = A ω cos (ω t + θ 0 )
dove ω = è la velocità angolare di rotazione; t = è tempo; e, θ 0 = è la fase iniziale.
In questo modo, questa equazione consente di determinare la posizione del pendolo in qualsiasi momento. A questo proposito, è interessante evidenziare alcune relazioni tra alcune delle grandezze del moto armonico semplice.
ω = 2 Π / T = 2 Π / f
D'altra parte, la formula che governa la velocità del pendolo in funzione del tempo si ottiene derivando lo spostamento come funzione del tempo, quindi:
v = dx / dt = -A ω sin ( ω t + θ 0 )
Procedendo nello stesso modo, otteniamo l'espressione dell'accelerazione rispetto al tempo:
a = dv / dt = - A ω 2 cos ( ω t + θ 0 )
Massima velocità e accelerazione
Osservando sia l'espressione della velocità che quella dell'accelerazione, sono apprezzati alcuni aspetti interessanti del movimento del pendolo.
La velocità assume il suo valore massimo nella posizione di equilibrio, momento in cui l'accelerazione è zero, poiché, come precedentemente affermato, in quel momento la forza netta è zero.
Al contrario, agli estremi dello spostamento avviene il contrario, lì l'accelerazione assume il valore massimo e la velocità assume un valore nullo.
Dalle equazioni di velocità e accelerazione è facile dedurre sia il modulo di velocità massima che il modulo di accelerazione massima. È sufficiente prendere il massimo valore possibile sia per il sin (ω t + θ 0 ) che per il cos (ω t + θ 0 ), che in entrambi i casi è 1.
│ v max │ = A ω
│ a max │ = A ω 2
Il momento in cui il pendolo raggiunge la massima velocità è quando passa attraverso il punto di equilibrio delle forze da allora sin (ω t + θ 0 ) = 1 . Al contrario, l'accelerazione massima lo raggiunge ad entrambe le estremità del movimento da allora cos (ω t + θ 0 ) = 1
conclusione
Un pendolo è un oggetto facile da progettare e in apparenza con un semplice movimento, anche se la verità è che sullo sfondo è molto più complessa di quanto sembri.
Tuttavia, quando l'ampiezza iniziale è piccola, il suo movimento può essere spiegato con equazioni che non sono eccessivamente complicate, dato che può essere approssimato con le equazioni del semplice movimento vibratorio armonico.
I diversi tipi di pendoli che esistono hanno diverse applicazioni sia per la vita quotidiana che in campo scientifico.
