Principio moltiplicativo: tecniche ed esempi di conteggio
Il principio moltiplicativo è una tecnica che viene utilizzata per risolvere i problemi di conteggio per trovare la soluzione senza che sia necessario elencarne gli elementi. È anche conosciuto come il principio fondamentale dell'analisi combinatoria; si basa sulla moltiplicazione successiva per determinare il modo in cui un evento può verificarsi.
Questo principio afferma che, se una decisione (d 1 ) può essere presa in vari modi e un'altra decisione (d 2 ) può essere presa in modi diversi, il numero totale di modi in cui le decisioni possono essere prese d 1 e d 2 sarà uguale moltiplicare da n * m. Secondo il principio, ogni decisione viene presa una dopo l'altra: numero di modi = N 1 * N 2 ... * N x modi.
Esempi
Esempio 1
Paula progetta di andare al cinema con i suoi amici, e per scegliere gli abiti che indosserà, ho separato 3 camicette e 2 gonne. Quanti modi può vestire Paula?
soluzione
In questo caso, Paula deve prendere due decisioni:
d 1 = Scegli tra 3 camicette = n
d 2 = Scegli tra 2 gonne = m
In questo modo Paula non ha n + decisioni da prendere o diversi modi di vestire.
n * m = 3 * 2 = 6 decisioni.
Il principio moltiplicativo deriva dalla tecnica del diagramma ad albero, che è un diagramma che mette in relazione tutti i possibili risultati, in modo che ognuno possa verificarsi un numero finito di volte.
Esempio 2
Mario era molto assetato, così andò alla panetteria a comprare un succo. Luis gli risponde e gli dice che ha due taglie: grande e piccola; e quattro sapori: mela, arancia, limone e uva. In quanti modi Mario può scegliere il succo?
soluzione
Nel diagramma si può vedere che Mario ha 8 modi diversi per scegliere il succo e che, come nel principio moltiplicativo, questo risultato è ottenuto dalla moltiplicazione di n * m. L'unica differenza è che attraverso questo diagramma puoi sapere come sono i modi in cui Mario sceglie il succo.
D'altra parte, quando il numero di risultati possibili è molto grande, è più pratico utilizzare il principio moltiplicativo.
Tecniche di conteggio
Le tecniche di conteggio sono metodi usati per fare un conteggio diretto e quindi conoscere il numero di possibili disposizioni che gli elementi di un determinato insieme possono avere. Queste tecniche si basano su diversi principi:
Principio di aggiunta
Questo principio afferma che, se due eventi n e n non possono verificarsi nello stesso momento, il numero di modi in cui può verificarsi il primo o il secondo evento sarà la somma di m + n:
Numero di forme = m + n ... + x forme diverse.
esempio
Antonio vuole fare un viaggio ma non decide quale destinazione; presso la South Tourism Agency ti offrono una promozione per viaggiare a New York o Las Vegas, mentre l'Agenzia per il turismo orientale ti consiglia di recarti in Francia, in Italia o in Spagna. Quante alternative di viaggio diverse ti offre Antonio?
soluzione
Con l'agenzia turistica del sud Antonio ha 2 alternative (New York o Las Vegas), mentre con l'agenzia per il turismo orientale ha 3 opzioni (Francia, Italia o Spagna). Il numero di alternative diverse è:
Numero di alternative = m + n = 2 + 3 = 5 alternative.
Principio di permutazione
Si tratta di ordinare in modo specifico tutti o alcuni degli elementi che compongono un insieme, per facilitare il conteggio di tutte le possibili disposizioni che possono essere fatte con gli elementi.
Il numero di permutazioni di n elementi diversi, preso tutto in una volta, è rappresentato come:
n P n = n!
esempio
Quattro amici vogliono fare una foto e vogliono sapere quante forme differenti possono essere ordinate.
soluzione
Vuoi conoscere l'insieme di tutti i possibili modi in cui le 4 persone possono essere posizionate per scattare la foto. Quindi, devi:
4 P 4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 forme diverse.
Se il numero di permutazioni di n elementi disponibili è preso da parti di un insieme formato da elementi r, è rappresentato come:
n P r = n! ÷ (n - r)!
esempio
In una aula ci sono 10 posizioni. Se 4 studenti frequentano la classe, in quanti modi diversi gli studenti possono occupare le posizioni?
soluzione
Il numero totale del set di sedie è 10, e di questi solo 4 verranno utilizzati. La formula data viene applicata per determinare il numero di permutazioni:
n P r = n! ÷ (n - r)!
10 P 4 = 10! ÷ (10 - 4)!
10 P 4 = 10! ÷ 6!
10 P 4 = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040 modi per riempire le posizioni.
Ci sono casi in cui vengono ripetuti alcuni degli elementi disponibili di un set (sono gli stessi). Per calcolare il numero di accordi prendendo tutti gli elementi contemporaneamente, viene utilizzata la seguente formula:
n P r = n! ÷ n 1 ! * n 2 ! ... n r !
esempio
Quante parole diverse di quattro lettere possono essere formate dalla parola "lupo"?
soluzione
In questo caso abbiamo 4 elementi (lettere) di cui due sono esattamente gli stessi. Applicando la formula data, sappiamo quante parole diverse sono:
n P r = n! ÷ n 1 ! * n 2 ! ... n r !
4 P 2, 1, 1 = 4! ÷ 2! * 1! * 1!
4 P 2, 1, 1 = (4 * 3 * 2 * 1) ÷ (2 * 1) * 1 * 1
4 P 2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 parole diverse.
Principio della combinazione
Si tratta di correggere tutti o alcuni degli elementi che formano un set senza un ordine specifico. Ad esempio, se si dispone di un array XYZ, sarà identico agli array ZXY, YZX, ZYX, tra gli altri; Questo perché, nonostante non siano nello stesso ordine, gli elementi di ogni accordo sono gli stessi.
Quando vengono presi alcuni elementi (r) dell'insieme (n), il principio di combinazione è dato dalla seguente formula:
n C r = n! ÷ (n - r)! R!
esempio
In un negozio vendono 5 diversi tipi di cioccolato. In quanti modi diversi puoi scegliere 4 cioccolatini?
soluzione
In questo caso devi scegliere 4 cioccolatini dei 5 tipi venduti nel negozio. L'ordine in cui vengono scelti non ha importanza e, inoltre, un tipo di cioccolato può essere scelto più di due volte. Applicando la formula, devi:
n C r = n! ÷ (n - r)! R!
5 C 4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!
5 C 4 = 5! ÷ (1)! 4!
5 C 4 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 4 * 3 * 2 * 1
5 C 4 = 120 ÷ 24 = 5 modi diversi per scegliere 4 cioccolati.
Quando tutti gli elementi (r) dell'insieme (n) sono presi, il principio di combinazione è dato dalla seguente formula:
n C n = n!
Esercizi risolti
Esercizio 1
Hai una squadra di baseball con 14 membri. In quanti modi possono essere assegnate 5 posizioni per un gioco?
soluzione
Il set è composto da 14 elementi e si desidera assegnare 5 posizioni specifiche; cioè, quell'ordine conta. La formula di permutazione viene applicata dove n elementi disponibili sono presi da parti di un insieme formato da r.
n P r = n! ÷ (n - r)!
Dove n = 14 e r = 5. È sostituito nella formula:
14 P 5 = 14! ÷ (14 - 5)!
14 P 5 = 14! ÷ (9)!
14 P 5 = 240 240 modi per assegnare le 9 posizioni del gioco.
Esercizio 2
Se una famiglia di 9 membri va in gita e compra i biglietti con posti consecutivi, in quanti modi diversi possono sedersi?
soluzione
Consiste di 9 elementi che occuperanno 9 posti consecutivi.
P 9 = 9!
P 9 = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880 modi diversi di stare seduti.
