Interpolazione lineare: metodo, esercizi risolti

L'interpolazione lineare è un metodo che origina dall'interpolazione generale di Newton e consente di determinare per approssimazione un valore sconosciuto compreso tra due numeri dati; cioè, c'è un valore intermedio. Viene anche applicato a funzioni approssimative, dove i valori f (a) ed f (b) sono noti e vogliamo conoscere l'intermedio di f (x) .

Esistono diversi tipi di interpolazione, come i gradi lineare, quadratico, cubico e superiore, il più semplice dei quali è l'approssimazione lineare. Il prezzo che deve essere pagato con l'interpolazione lineare è che il risultato non sarà accurato come con approssimazioni per funzioni di gradi superiori.

definizione

L'interpolazione lineare è un processo che consente di dedurre un valore tra due valori ben definiti, che possono essere in una tabella o in un grafico lineare.

Ad esempio, se sai che 3 litri di latte valgono $ 4 e che 5 litri valgono $ 7, ma vuoi sapere qual è il valore di 4 litri di latte, interpola per determinare il valore intermedio.

metodo

Per stimare un valore intermedio di una funzione, la funzione f (x) è approssimata da una linea r (x), il che significa che la funzione varia linearmente con "x" per un tratto "x = a" e "x = b »; cioè, per un valore "x" nell'intervallo (x 0, x 1 ) y (y 0, y 1 ), il valore di "y" è dato dalla linea tra i punti ed è espresso dalla seguente relazione:

(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )

Affinché un'interpolazione sia lineare, è necessario che il polinomio di interpolazione sia di grado uno (n = 1), in modo che si adatti ai valori di x 0 e x 1.

L'interpolazione lineare si basa sulla somiglianza dei triangoli, in modo tale che, derivando geometricamente dall'espressione precedente, possiamo ottenere il valore di «y», che rappresenta il valore sconosciuto per «x».

In questo modo devi:

a = tan Ɵ = (lato opposto 1 ÷ lato adiacente 1 ) = (lato opposto 2 ÷ lato adiacente 2 )

Espresso in altro modo, è:

(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )

Cancellando "e" delle espressioni, hai:

(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )

(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]

Quindi, otteniamo l'equazione generale per l'interpolazione lineare:

y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]

In generale, l'interpolazione lineare dà un piccolo errore sul valore reale della funzione vera, sebbene l'errore sia minimo se si sceglie intuitivamente un numero vicino a quello che si vuole trovare.

Questo errore si verifica quando si tenta di approssimare il valore di una curva con una linea retta; per questi casi la dimensione dell'intervallo deve essere ridotta per rendere l'approccio più preciso.

Per risultati migliori rispetto all'approccio, è consigliabile utilizzare le funzioni di grado 2, 3 o anche di grado superiore per eseguire l'interpolazione. Per questi casi il teorema di Taylor è uno strumento molto utile.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Il numero di batteri per unità di volume esistente in un'incubazione dopo x ore è presentato nella seguente tabella. Vuoi sapere qual è il volume di batteri per il tempo di 3, 5 ore.

soluzione

La tabella di riferimento non stabilisce un valore che indica la quantità di batteri per un tempo di 3, 5 ore ma ha valori superiori e inferiori corrispondenti a un tempo di 3 e 4 ore, rispettivamente. In questo modo:

x 0 = 3 e 0 = 91

x = 3, 5 y =?

x 1 = 4 e 1 = 135

Ora, l'equazione matematica viene applicata per trovare il valore interpolato, che è il seguente:

y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )].

Quindi i valori corrispondenti sono sostituiti:

y = 91 + (135 - 91) * [(3, 5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44) * [(0, 5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 * 0.5

y = 113

Così si ottiene che per un tempo di 3, 5 ore, la quantità di batteri è 113, che rappresenta un livello intermedio tra il volume di batteri esistenti nei tempi di 3 e 4 ore.

Esercizio 2

Luis ha una fabbrica di gelati e vuole fare uno studio per determinare le entrate che ha avuto in agosto dalle spese fatte. Il manager dell'azienda fa un grafico che esprime quella relazione, ma Luis vuole sapere:

Quali sono le entrate per agosto, se è stata effettuata una spesa di $ 55.000?

soluzione

Viene fornito un grafico con i valori delle entrate e delle spese. Luis vuole sapere quali sono le entrate di agosto se la fabbrica ha una spesa di $ 55.000. Questo valore non si riflette direttamente nel grafico, ma i valori più alti e più bassi di questo sono disponibili.

Prima viene creato un tavolo dove mettere in relazione i valori con facilità:

Ora, la formula di interpolazione viene utilizzata per determinare il valore di y

y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]

Quindi i valori corrispondenti sono sostituiti:

y = 56.000 + (78.000 - 56.000) * [(55.000 - 45.000) ÷ (62.000 - 45.000)]

y = 56.000 + (22.000) * [(10.000) ÷ (17.000)]

y = 56.000 + (22.000) * (0, 588)

y = 56.000 + 12.936

y = $ 68, 936.

Se una spesa di $ 55.000 è stata fatta in agosto, il reddito è stato di $ 68.936.