Sistema ottale: storia, sistema di numerazione e conversioni

Il sistema ottale è un sistema di numerazione posizionale di base otto (8); cioè, consiste di otto cifre, che sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Pertanto, ogni cifra di un numero ottale può avere qualsiasi valore compreso tra 0 e 7. Numeri ottali sono formati dai numeri binari.

Questo perché la sua base è una potenza esatta di due (2). Cioè, i numeri che appartengono al sistema ottale si formano quando sono raggruppati in tre cifre consecutive, disposte da destra a sinistra, ottenendo in questo modo il loro valore decimale.

storia

Il sistema ottale ha origine nell'antichità, quando le persone usavano le loro mani per contare da otto a otto animali.

Ad esempio, per contare il numero di mucche in una stalla, uno ha cominciato a contare sulla mano destra, unendo il pollice con il mignolo; quindi per contare il secondo animale, il pollice è stato unito con l'indice, e così via con le dita rimanenti di ciascuna mano, fino al completamento 8.

Esiste la possibilità che nei tempi antichi il sistema di numerazione ottale fosse usato prima del decimale per poter contare gli spazi interdigitali; cioè, conta tutte le dita tranne i pollici.

Successivamente è stato stabilito il sistema di numerazione ottale, che ha avuto origine dal sistema binario, poiché ha bisogno di molte cifre per rappresentare un solo numero; da quel momento in poi, sono stati creati i sistemi ottagonale ed esagonale, che non richiedono così tante cifre e possono essere facilmente convertiti nel sistema binario.

Ottale sistema di numerazione

Il sistema ottale consiste di otto cifre che vanno da 0 a 7. Hanno lo stesso valore del caso del sistema decimale, ma il loro valore relativo cambia a seconda della posizione che occupano. Il valore di ogni posizione è dato dalle potenze di base 8.

Le posizioni delle cifre in un numero ottale hanno i seguenti pesi:

84, 83, 82, 81, 80, punto ottale, 8-1, 8-2, 8-3, 8-4, 8-5.

La cifra ottale più grande è 7; in questo modo, quando viene contato questo sistema, viene aumentata una posizione di una cifra da 0 a 7. Quando raggiunge 7, viene riciclata a 0 per il conteggio successivo; in questo modo viene aumentata la successiva posizione della cifra. Ad esempio, per contare le sequenze, nel sistema ottale sarà:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
53, 54, 55, 56, 57, 60.
375, 376, 377, 400.

C'è un teorema fondamentale che viene applicato al sistema ottale ed è espresso come segue:

In questa espressione di rappresenta la cifra moltiplicata per la potenza di base 8, che indica il valore posizionale di ogni cifra, nello stesso modo in cui è ordinata nel sistema decimale.

Ad esempio, hai il numero 543.2. Per portarlo al sistema ottale viene scomposto nel modo seguente:

N = Σ [(5 _* 82) + (4 _* 81) + (3 _* 80) + (2 _* 8-1)] = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + ( 2 * 0, 125)

N = 320 +32 + 2 + 0, 25 = 354 + 0, 25 _d

In questo modo hai 543, 2 _q = 354, 25 _d . Il pedice q indica che è un numero ottale che può essere rappresentato anche dal numero 8; e il pedice d si riferisce al numero decimale, che può anche essere rappresentato dal numero 10.

Conversione del sistema ottale in decimale

Per convertire un numero di sistema ottale al suo equivalente nel sistema decimale, devi solo moltiplicare ogni cifra ottale per il suo valore di posizione, iniziando da destra.

Esempio 1

732 ₈ = (7 _* 82) + (3 _* 81) + (2 _* 80) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732 ₈ = 448 +24 +2

732 ₈ = 474 ₁₀

Esempio 2

26, 9 ₈ = (2 _* 81) + (6 _* 80) + (9 _* 8-1) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0, 125)

26, 9 ₈ = 16 + 6 + 1, 125

26, 9 ₈ = 23, 125 ₁₀

Conversione del sistema decimale in ottale

Un numero intero decimale può essere convertito in un numero ottale usando il metodo di divisione ripetuta, in cui il numero decimale è diviso per 8 fino a quando il quoziente è uguale a 0, ei residui di ogni divisione rappresenteranno il numero ottale.

I rifiuti sono ordinati dall'ultimo al primo; cioè, il primo residuo sarà la cifra meno significativa del numero ottale. In questo modo, la cifra più significativa sarà l'ultimo residuo.

esempio

Ottale del numero decimale 266 ₁₀

- Dividere il numero decimale 266 tra 8 = 266/8 = 33 + residuo di 2.

- Quindi il 33 è diviso per 8 = 33/8 = 4 + residuo di 1.

- Dividi 4 per 8 = 4/8 = 0 + residuo di 4.

Come con l'ultima divisione si ottiene un quoziente inferiore a 1, significa che il risultato è stato trovato; solo i resti devono essere ordinati in ordine inverso, in modo che il numero ottale del decimale 266 sia 412, come si può vedere nell'immagine seguente:

Conversione del sistema ottale in binario

La conversione del sistema ottale in binario viene effettuata convertendo la cifra ottale in una cifra binaria equivalente, formata da tre cifre. C'è una tabella che mostra come vengono convertite le otto cifre possibili:

Da queste conversioni, qualsiasi numero dal sistema ottale al binario può essere modificato, ad esempio, per convertire il numero 572, _{8 i} suoi equivalenti vengono cercati nella tabella. Quindi, devi:

5 ₈ = 101

7 ₈ = 111

2 ₈ = 10

Pertanto, 572 _{8 è} equivalente nel sistema binario a 10111110.

Conversione del sistema binario in ottale

Il processo di conversione degli interi binari in numeri ottali è l'operazione inversa rispetto al processo precedente.

Cioè, i bit del numero binario sono raggruppati in due gruppi di tre bit, iniziando da destra a sinistra. Quindi, la conversione da binario a ottale viene effettuata con la tabella precedente.

In alcuni casi il numero binario non avrà gruppi di 3 bit; per completarlo, uno o due zeri vengono aggiunti alla sinistra del primo gruppo.

Ad esempio, per cambiare il numero binario 11010110 in ottale, viene eseguito quanto segue:

- I gruppi di 3 bit vengono formati a partire da destra (ultimo bit):

11010110

- Poiché il primo gruppo è incompleto, viene aggiunto uno zero a sinistra:

011010110

- La conversione è fatta dalla tabella:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

Pertanto, il numero binario 011010110 equivale a 326 ₈ .

Conversione del sistema ottale in esadecimale e viceversa

Per effettuare il passaggio da un numero ottale al sistema esadecimale o da esadecimale ad ottale, è necessario che il numero venga prima convertito in binario e quindi nel sistema desiderato.

Per questo esiste una tabella in cui ogni cifra esadecimale è rappresentata con la sua equivalenza nel sistema binario, costituita da quattro cifre.

In alcuni casi, il numero binario non avrà gruppi di 4 bit; per completarlo, aggiungi uno o due zeri a sinistra del primo gruppo