Teorema di Bolzano: spiegazione, applicazioni e esercizi risolti

Il teorema di Bolzano afferma che se una funzione è continua in tutti i punti di un intervallo chiuso [a, b] ed è soddisfatta che l'immagine di "a" e "b" (sotto la funzione) abbia segni opposti, allora esisterà per almeno un punto «c» nell'intervallo aperto (a, b), tale che la funzione valutata in «c» sia uguale a 0.

Questo teorema fu enunciato dal filosofo, teologo e matematico Bernard Bolzano nel 1850. Questo scienziato, nato nell'attuale Repubblica Ceca, fu uno dei primi matematici della storia a fare una dimostrazione formale delle proprietà delle funzioni continue.

spiegazione

Il teorema di Bolzano è anche noto come teorema dei valori intermedi, che aiuta nella determinazione di valori specifici, in particolare zeri, di certe funzioni reali di una variabile reale.

In una data funzione f (x) continua-cioè, f (a) ed f (b) sono collegati da una curva-, dove f (a) è al di sotto dell'asse x (è negativo), e f (b) è sopra l'asse x (è positivo), o viceversa, graficamente ci sarà un punto di taglio sull'asse x che rappresenterà un valore intermedio «c», che sarà tra «a» e «b», e il valore di f (c) sarà uguale a 0

Analizzando graficamente il teorema di Bolzano, possiamo sapere che per ogni funzione f continua definita in un intervallo [a, b], dove f (a) _* f (b) è minore di 0, ci sarà almeno una radice «c »Di quella funzione nell'intervallo (a, b).

Questo teorema non stabilisce il numero di punti esistenti in quell'intervallo aperto, solo afferma che c'è almeno 1 punto.

spettacolo

Per dimostrare il teorema di Bolzano, si presume senza perdita di generalità che f (a) 0; in questo modo, possono esserci molti valori tra «a» e «b» per i quali f (x) = 0, ma è necessario mostrare solo uno.

Inizia valutando f nel punto medio (a + b) / 2. Se f ((a + b) / 2) = 0, il test termina qui; altrimenti, f ((a + b) / 2) è positivo o negativo.

Viene scelta una delle metà dell'intervallo [a, b], in modo tale che i segni della funzione valutata alle estremità siano diversi. Questo nuovo intervallo sarà [a1, b1].

Ora, se f valutato nel punto medio di [a1, b1] non è zero, allora viene eseguita la stessa operazione di prima; cioè, viene scelta una metà di questo intervallo che soddisfa la condizione dei segni. Lascia che questo nuovo intervallo sia [a2, b2].

Se questo processo viene continuato, verranno eseguite due successioni {an} e {bn}, in modo tale che:

{an} sta aumentando e {bn} sta diminuendo:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Se calcoli la lunghezza di ciascun intervallo [ai, bi], dovrai:

b1-a1 = (ba) / 2.

b2-a2 = (ba) / 2².

....

bn-an = (ba) / 2 ^ n.

Pertanto, il limite quando n tende all'infinito di (bn-an) è uguale a 0.

Usando che {an} sta aumentando e delimitando e {bn} è decrescente e limitato, esiste un valore "c" tale che:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Il limite di a è "c" e il limite di {bn} è anche "c". Pertanto, dato un qualsiasi δ> 0, c'è sempre una "n" tale che l'intervallo [an, bn] sia contenuto nell'intervallo (c-δ, c + δ).

Ora, deve essere mostrato che f (c) = 0.

Se f (c)> 0, dato che f è continuo, esiste ε> 0 tale che f è positivo nell'intero intervallo (c-ε, c + ε). Tuttavia, come detto sopra, esiste un valore "n" tale che f cambia segno in [an, bn] e, inoltre, [an, bn] è contenuto in (c-ε, c + ε), che è una contraddizione.

Se f (c) 0 tale che f sia negativo nell'intero intervallo (c-ε, c + ε); ma esiste un valore "n" tale che f cambia segno in [an, bn]. Si scopre che [an, bn] è contenuto dentro (c-ε, c + ε), che è anche una contraddizione.

Pertanto, f (c) = 0 e questo è ciò che volevamo dimostrare.

A cosa serve?

Dalla sua interpretazione grafica, il teorema di Bolzano viene utilizzato per trovare radici o zeri in una funzione continua, attraverso la bisezione (approssimazione), che è un metodo di ricerca incrementale che divide sempre gli intervalli in 2.

Quindi prendi un intervallo [a, c] o [c, b] dove si verifica la modifica del segno e ripeti il ​​processo fino a quando l'intervallo è più piccolo e più piccolo, in modo che tu possa avvicinarti al valore desiderato; cioè, il valore che la funzione fa 0.

In sintesi, per applicare il teorema di Bolzano e quindi trovare le radici, delimitare gli zeri di una funzione o dare soluzione a un'equazione, vengono eseguiti i seguenti passi:

- Controllare se f è una funzione continua nell'intervallo [a, b].

- Se l'intervallo non è dato, si deve trovare uno dove la funzione è continua.

- Verificare se gli estremi dell'intervallo danno segni opposti se valutati in f.

- Se non si ottengono segni opposti, l'intervallo deve essere diviso in due sottointervalli usando il punto medio.

- Valutare la funzione al punto medio e verificare che l'ipotesi di Bolzano sia soddisfatta, dove f (a) _* f (b) <0.

- A seconda del segno (positivo o negativo) del valore rilevato, il processo viene ripetuto con un nuovo sottointervallo fino a quando non viene soddisfatta l'ipotesi di cui sopra.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Determina se la funzione f (x) = x2 - 2, ha almeno una soluzione reale nell'intervallo [1, 2].

soluzione

Abbiamo la funzione f (x) = x2 - 2. Poiché è polinomiale, significa che è continua in qualsiasi intervallo.

Ti viene chiesto di determinare se hai una soluzione reale nell'intervallo [1, 2], quindi ora devi solo sostituire gli estremi dell'intervallo nella funzione per conoscere il segno di questi e sapere se soddisfano la condizione di essere diversi:

f (x) = x2 - 2

f (1) = 12 - 2 = -1 (negativo)

f (2) = 22 - 2 = 2 (positivo)

Pertanto, segno di f (1) ≠ segno f (2).

Questo assicura che ci sia almeno un punto "c" che appartiene all'intervallo [1, 2], dove f (c) = 0.

In questo caso, il valore di "c" può essere facilmente calcolato come segue:

x2 - 2 = 0

x = ± √2.

Quindi, √2 ≈ 1.4 appartiene all'intervallo [1, 2] e soddisfa f (√2) = 0.

Esercizio 2

Mostra che l'equazione x5 + x + 1 = 0 ha almeno una soluzione reale.

soluzione

Prima nota che f (x) = x5 + x + 1 è una funzione polinomiale, il che significa che è continua in tutti i numeri reali.

In questo caso, non viene assegnato alcun intervallo, quindi i valori devono essere scelti in modo intuitivo, preferibilmente vicino a 0, per valutare la funzione e trovare le modifiche al segno:

Se usi l'intervallo [0, 1] devi:

f (x) = x5 + x + 1.

f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 15 + 1 + 1 = 3> 0.

Poiché non vi è alcun cambiamento di segno, il processo viene ripetuto con un altro intervallo.

Se usi l'intervallo [-1, 0] devi:

f (x) = x5 + x + 1.

f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.

f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0.

In questo intervallo c'è un cambio di segno: segno di f (-1) ≠ segno di f (0), il che significa che la funzione f (x) = x5 + x + 1 ha almeno una radice reale «c» in l'intervallo [-1, 0], tale che f (c) = 0. In altre parole, è vero che x5 + x + 1 = 0 ha una soluzione reale nell'intervallo [-1, 0].