Geometria euclidea: storia, concetti di base ed esempi
La geometria euclidea corrisponde allo studio delle proprietà degli spazi geometrici in cui gli assiomi di Euclide sono soddisfatti. Mentre questo termine è talvolta usato per comprendere geometrie che hanno dimensioni superiori con proprietà simili, di solito è sinonimo di geometria classica o geometria piatta.
Nel terzo secolo a. C. Euclides e i suoi discepoli scrissero gli Elementi, un'opera che comprendeva la conoscenza matematica del tempo dotata di una struttura logico-deduttiva. Da allora, la geometria è diventata una scienza, inizialmente per risolvere i problemi classici e si è evoluta in una scienza formativa che aiuta la ragione.
storia
Per iniziare con la storia della geometria euclidea, è essenziale iniziare con Euclide di Alessandria e gli Elementi .
Quando l'Egitto fu nelle mani di Tolomeo I, dopo la morte di Alessandro Magno, iniziò il suo progetto in una scuola ad Alessandria.
Tra i saggi che insegnavano a scuola c'era Euclide. Si ipotizza che la sua nascita risale approssimativamente al 325 a. C. e la sua morte di 265 a. C. Possiamo sapere con certezza che è andato alla scuola di Platone.
Per oltre trent'anni Euclid insegnò ad Alessandria, costruendo i suoi famosi elementi: cominciò a scrivere una descrizione esauriente della matematica del suo tempo. Gli insegnamenti di Euclide produssero eccellenti discepoli, come Archimede e Apollonio di Perga.
Euclide era responsabile della strutturazione delle disparate scoperte dei greci classici negli Elementi, ma a differenza dei suoi predecessori non si limita ad affermare che un teorema è vero; Euclide offre una dimostrazione.
Gli elementi sono un compendio di tredici libri. Dopo la Bibbia, è il libro più pubblicato, con più di mille edizioni.
The Elements è il capolavoro di Euclide nel campo della geometria e offre un trattamento definitivo della geometria di due dimensioni (il piano) e tre dimensioni (lo spazio), essendo questa l'origine di ciò che ora conosciamo come geometria euclidea .
Concetti di base
Gli elementi sono conformati da definizioni, nozioni comuni e postulati (o assiomi) seguiti da teoremi, costruzioni e dimostrazioni.
- Un punto è ciò che non ha parti.
- Una linea è una lunghezza che non ha larghezza.
- Una linea retta è quella che si trova ugualmente in relazione ai punti che sono in essa.
- Se due linee vengono tagliate in modo che gli angoli adiacenti siano uguali, gli angoli sono chiamati diritti e le linee sono chiamate perpendicolari.
- Le linee parallele sono quelle che, trovandosi sullo stesso piano, non vengono mai tagliate.
Dopo queste e altre definizioni, Euclid presenta una lista di cinque postulati e cinque nozioni.
Nozioni comuni
- Due cose che sono uguali a un terzo, sono uguali tra loro.
- Se le cose uguali vengono aggiunte alle stesse cose, i risultati sono gli stessi.
- Se le cose uguali vengono sottratte a cose uguali, i risultati sono gli stessi.
- Le cose che coincidono tra loro sono uguali tra loro.
- Il totale è maggiore di una parte.
Postulati o assiomi
- Per due punti diversi passa una e una sola linea.
- Le linee rette possono estendersi indefinitamente.
- Puoi disegnare un cerchio con qualsiasi centro e qualsiasi raggio.
- Tutti gli angoli retti sono uguali.
- Se una linea retta incrocia due linee rette in modo che gli angoli interni dello stesso lato aggiungano meno di due angoli retti, le due rette si intersecheranno su quel lato.
Quest'ultimo postulato è noto come postulato dei paralleli ed è stato riformulato come segue: "Per un punto esterno a una linea, possiamo disegnare un singolo parallelo alla linea data".
Esempi
Successivamente, alcuni teoremi degli Elementi serviranno a mostrare le proprietà degli spazi geometrici in cui sono soddisfatti i cinque postulati di Euclide; Inoltre, illustreranno il ragionamento logico-deduttivo usato da questo matematico.
Primo esempio
Proposizione 1.4. (LAL)
Se due triangoli hanno due lati e l'angolo tra loro è uguale, allora gli altri lati e gli altri angoli sono uguali.
spettacolo
Sia ABC e A'B'C 'essere due triangoli con AB = A'B', AC = A'C 'e gli angoli BAC e B'A'C' uguali. Passare al triangolo A'B'C 'in modo che A'B' coincida con AB e che l'angolo B'A'C 'coincida con l'angolo BAC.
Quindi, la linea A'C 'coincide con la linea AC, in modo che C' coincida con C. Quindi, per postulato 1, la linea BC deve coincidere con la linea B'C '. Quindi i due triangoli coincidono e, di conseguenza, i loro angoli e lati sono uguali.
Secondo esempio
Proposizione 1.5. ( Pons Asinorum )
Se un triangolo ha due lati uguali, allora gli angoli opposti a quelli sono uguali.
spettacolo
Supponiamo che il triangolo ABC abbia lati uguali AB e AC.
Quindi, i triangoli ABD e ACD hanno due lati uguali e gli angoli tra di loro sono uguali. Quindi, con la proposizione 1.4, gli angoli ABD e ACD sono uguali.
Terzo esempio
Proposizione 1.31
È possibile costruire una linea parallela a una linea data da un punto dato.
costruzione
Data una linea L e un punto P, viene disegnata una linea retta M che passa per P e attraversa L. Quindi una linea retta N viene disegnata da P che taglia a L. Ora, una linea N che taglia a M viene tracciata da P, formando un angolo uguale a quello che L forma con M.
affermazione
N è parallelo a L.
spettacolo
Supponiamo che L e N non siano paralleli e intersecano in un punto A. Sia B un punto in L oltre A. Considera la linea O che passa attraverso B e P. Quindi, O taglia M formando angoli che aggiungono meno di due dritto.
Quindi, per 1, 5, la linea O deve tagliare alla linea L sull'altro lato di M, quindi L e O si intersecano in due punti, che contraddice il postulato 1. Pertanto, L e N devono essere paralleli.
