Teorema binomiale: dimostrazione ed esempi
Il teorema binomiale è un'equazione che ci dice come sviluppare un'espressione della forma (a + b) n per un numero naturale n. Un binomio non è più della somma di due elementi, come (a + b). Ci permette anche di sapere per un termine dato da akbn-k quale è il coefficiente che lo accompagna.
Questo teorema è comunemente attribuito all'inventore, fisico e matematico inglese Sir Isaac Newton; Tuttavia, sono stati trovati diversi documenti che indicano che in Medio Oriente la sua esistenza era già nota, intorno all'anno 1000.
Numeri combinatori
Il teorema binomiale ci dice matematicamente quanto segue:
In questa espressione aeb sono numeri reali e n è un numero naturale.
Prima di dare la dimostrazione, vediamo alcuni concetti di base che sono necessari.
Il numero combinatorio o le combinazioni di n in k è espresso come segue:
Questa forma esprime il valore di quanti sottoinsiemi con k elementi possono essere scelti da un insieme di n elementi. La sua espressione algebrica è data da:
Vediamo un esempio: supponiamo di avere un gruppo di sette sfere, di cui due rosse e il resto blu.
Vogliamo sapere in quanti modi possiamo ordinarli in fila. Un modo potrebbe essere quello di posizionare i due rossi nella prima e nella seconda posizione, e il resto delle palle nelle rimanenti posizioni.
Analogamente al caso precedente, potremmo assegnare le palline rosse rispettivamente alla prima e all'ultima posizione e occupare le altre con palline blu.
Ora, un modo efficace per contare quanti modi possiamo ordinare le palle di fila è usare i numeri combinatori. Possiamo vedere ogni posizione come un elemento del seguente set:
Successivamente è necessario solo scegliere un sottoinsieme di due elementi, in cui ognuno di questi elementi rappresenta la posizione che occuperanno le sfere rosse. Possiamo fare questa scelta in base alla relazione data da:
In questo modo, abbiamo che ci sono 21 modi per ordinare tali palle.
L'idea generale di questo esempio sarà molto utile nella dimostrazione del teorema binomiale. Diamo un'occhiata a un caso particolare: se n = 4, abbiamo (a + b) 4, che non è più di:
Quando sviluppiamo questo prodotto, abbiamo la somma dei termini ottenuti moltiplicando un elemento di ciascuno dei quattro fattori (a + b). Quindi, avremo termini che saranno nella forma:
Se vogliamo ottenere il termine del modulo a4, è sufficiente moltiplicare nel modo seguente:
Si noti che esiste un solo modo per ottenere questo elemento; Ma cosa succede se ora cerchiamo il termine del modulo a2b2? Poiché "a" e "b" sono numeri reali e, pertanto, la legge commutativa è valida, dobbiamo ottenere un modo per ottenere questo termine è moltiplicare con gli elementi come indicato dalle frecce.
Eseguire tutte queste operazioni è in genere un po 'noioso, ma se vediamo il termine "a" come una combinazione in cui vogliamo sapere in quanti modi possiamo scegliere due "a" da un insieme di quattro fattori, possiamo usare l'idea dell'esempio precedente. Quindi, abbiamo il seguente:
Quindi, sappiamo che nello sviluppo finale dell'espressione (a + b) 4 avremo esattamente 6a2b2. Usando la stessa idea per gli altri elementi, devi:
Quindi aggiungiamo le espressioni ottenute in precedenza e dobbiamo:
È una dimostrazione formale per il caso generale in cui "n" è un numero naturale.
spettacolo
Nota che i termini che rimangono quando si sviluppano (a + b) n sono nella forma akbn-k, dove k = 0, 1, ..., n. Usando l'idea dell'esempio precedente, abbiamo il modo di scegliere le variabili «k» «a» dei fattori «n»:
Scegliendo in questo modo, stiamo automaticamente scegliendo le variabili nk «b». Da ciò segue che:
Esempi
Considerando (a + b) 5, quale sarebbe il suo sviluppo?
Secondo il teorema binomiale dobbiamo:
Il teorema binomiale è molto utile se abbiamo un'espressione in cui vogliamo sapere qual è il coefficiente di un termine specifico senza dover eseguire lo sviluppo completo. Ad esempio possiamo prendere il seguente incognito: qual è il coefficiente di x7y9 nello sviluppo di (x + y) 16?
Secondo il teorema binomiale, abbiamo che il coefficiente è:
Un altro esempio potrebbe essere: qual è il coefficiente di x5y8 nello sviluppo di (3x-7y) 13?
Per prima cosa riscriviamo l'espressione in un modo conveniente; questo è:
Quindi, usando il teorema binomiale, abbiamo che il coefficiente voluto è quando abbiamo k = 5
Un altro esempio degli usi di questo teorema è la dimostrazione di alcune identità comuni, come quelle menzionate di seguito.
Identità 1
Se "n" è un numero naturale, dobbiamo:
Per la dimostrazione usiamo il teorema binomiale, dove sia "a" che "b" assumono il valore di 1. Quindi abbiamo:
In questo modo abbiamo dimostrato la prima identità.
Identità 2
Se "n" è un numero naturale, allora
Secondo il teorema binomiale dobbiamo:
Un'altra dimostrazione
Possiamo fare una prova diversa per il teorema binomiale usando il metodo induttivo e l'identità pascale, che ci dice che se «n» e «k» sono interi positivi conformi a n ≥ k, allora:
Dimostrazione per induzione
Per prima cosa vediamo che la base induttiva è soddisfatta. Se n = 1, dobbiamo:
In effetti, vediamo che è adempiuto. Ora, lascia che n = j tale che sia soddisfatto:
Vogliamo vedere che per n = j + 1 è soddisfatto che:
Quindi, dobbiamo:
Per ipotesi sappiamo che:
Quindi, utilizzando la proprietà distributiva:
Successivamente, sviluppando ciascuna delle sommatorie che abbiamo:
Ora, se ci raggruppiamo in un modo conveniente, dobbiamo:
Usando l'identità di pascal, dobbiamo:
Infine, nota che:
Pertanto, vediamo che il teorema binomiale è soddisfatto per ogni "n" appartenente al numero naturale, e con questo termina il test.
curiosità
Il numero combinatorio (nk) è anche chiamato coefficiente binomiale perché è proprio il coefficiente che appare nello sviluppo del binomio (a + b) n.
Isaac Newton ha dato una generalizzazione di questo teorema per il caso in cui l'esponente è un numero reale; Questo teorema è noto come teorema binomiale di Newton.
Già nell'antichità questo risultato era noto per il caso particolare in cui n = 2. Questo caso è menzionato negli Elementi di Euclide.
