Scomposizione additiva: applicazioni, partizioni, grafica
La decomposizione additiva di un intero positivo è di esprimerla come somma di due o più numeri interi positivi. Quindi, abbiamo che il numero 5 può essere espresso come 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 o 5 = 1 + 2 + 2. Ognuno di questi modi di scrivere il numero 5 è ciò che chiameremo decomposizione additiva.
Se prestiamo attenzione, possiamo vedere che le espressioni 5 = 2 + 3 e 5 = 3 + 2 rappresentano la stessa composizione; entrambi hanno gli stessi numeri Tuttavia, solo per comodità, ciascuno degli addendi è solitamente scritto seguendo il criterio dal meno al più grande.
Decomposizione additiva
Come altro esempio possiamo prendere il numero 27, che possiamo esprimere come:
27 = 7 + 10 + 10
27 = 9 + 9 + 9
27 = 3 + 6 + 9 + 9
27 = 9 + 18
La decomposizione additiva è uno strumento molto utile che ci consente di rafforzare le nostre conoscenze sui sistemi di numerazione.
Decomposizione canonica additiva
Quando abbiamo numeri di più di due cifre, un modo particolare di scomporle è nei multipli di 10, 100, 1000, 10 000, ecc., Che lo compongono. Questo modo di scrivere qualsiasi numero è chiamato decomposizione canonica additiva. Ad esempio, il numero 1456 può essere suddiviso come segue:
1456 = 1000 + 400+ 50 + 6
Se abbiamo il numero 20 846 295, la sua decomposizione canonica sarà:
20 846 295 = 20.000.000 + 800.000 + 40.000 + 6.000 + 200 + 90 +5.
Grazie a questa decomposizione, possiamo vedere che il valore di una determinata cifra è dato dalla posizione che occupa. Prendi i numeri 24 e 42 come esempio:
24 = 20 + 4
42 = 40 +2
Qui possiamo osservare che in 24 il 2 ha un valore di 20 unità e il 4 un valore di 4 unità; d'altra parte, in 42 il 4 ha un valore di 40 unità e il 2 di due unità. Pertanto, sebbene entrambi i numeri utilizzino le stesse cifre, i loro valori sono totalmente diversi dalla posizione che occupano.
applicazioni
Una delle applicazioni che possiamo dare alla decomposizione additiva è in certi tipi di dimostrazioni, in cui è molto utile vedere un numero intero positivo come la somma di altri.
Teorema di esempio
Prendiamo ad esempio il seguente teorema con le sue rispettive dimostrazioni.
- Sia Z un numero intero a 4 cifre, quindi Z è divisibile per 5 se il suo numero corrispondente alle unità è zero o cinque.
spettacolo
Ricorda cos'è la divisibilità. Se abbiamo interi "a" e "b", diciamo che "a" divide "b" se esiste un intero "c" tale che b = a * c.
Una delle proprietà di divisibilità ci dice che se "a" e "b" sono divisibili per "c", allora la sottrazione "ab" è anche divisibile per "c".
Sia Z un numero intero a 4 cifre; quindi, possiamo scrivere Z come Z = ABCD.
Usando la decomposizione degli additivi canonici abbiamo che:
Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D
È chiaro che A * 1000 + B * 100 + C * 10 è divisibile per 5. Per questo abbiamo che Z è divisibile per 5 se Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) è divisibile per 5.
Ma Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D e D è un numero di una singola figura, quindi l'unico modo in cui è divisibile per 5 è che è 0 o 5.
Pertanto, Z è divisibile per 5 se D = 0 o D = 5.
Nota che se Z ha n cifre la dimostrazione è esattamente la stessa, cambia solo che ora scriveremo Z = A 1 A 2 ... A n e l'obiettivo sarebbe dimostrare che A n è zero o cinque.
partizioni
Diciamo che una partizione di un intero positivo è un modo in cui possiamo scrivere un numero come somma di interi positivi.
La differenza tra una decomposizione additiva e una partizione è quella, mentre nel primo si cerca che possa almeno essere scomposto in due o più addendi, nella partizione non c'è tale restrizione.
Quindi, abbiamo il seguente:
5 = 5
5 = 1 + 4
5 = 2 + 3
5 = 1 + 2 + 2
Quanto sopra sono partizioni di 5.
Cioè, abbiamo che tutta la decomposizione additiva è una partizione, ma non tutte le partizioni sono necessariamente una decomposizione additiva.
Nella teoria dei numeri, il teorema fondamentale dell'aritmetica garantisce che ogni numero intero può essere scritto in modo univoco come un prodotto di numeri primi.
Quando si studiano le partizioni, l'obiettivo è determinare in quanti modi è possibile scrivere un intero positivo come somma di altri numeri interi. Pertanto, definiamo la funzione di partizione come presentata di seguito.
definizione
La funzione di partizione p (n) è definita come il numero di modi in cui un intero positivo n può essere scritto come somma di interi positivi.
Tornando all'esempio di 5, dobbiamo:
5 = 5
5 = 1 + 4
5 = 2 + 3
5 = 1 + 1 + 3
5 = 1 + 2 + 2
5 = 1 + 1 + 1 + 2
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
In tal modo, p (5) = 7.
grafico
Sia le partizioni che le decomposizioni additive di un numero n possono essere rappresentate geometricamente. Supponiamo di avere una decomposizione additiva di n. In questa scomposizione gli addendi possono essere disposti in modo che i membri della somma siano ordinati dal più basso al più alto. Quindi, vale la pena:
n = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a r con
a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤ ... ≤ a r .
Possiamo tracciare una tale scomposizione nel modo seguente: in prima fila segniamo i punti 1, poi nel prossimo segniamo 2 punti, e così via fino a raggiungere aa r .
Prendi il numero 23 e la seguente decomposizione come esempio:
23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3
Ordiniamo questa decomposizione e abbiamo:
23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7
Il suo grafico corrispondente sarebbe:
Allo stesso modo, se leggiamo detto grafico verticalmente anziché orizzontalmente, possiamo ottenere una scomposizione che potrebbe essere diversa da quella precedente. Nell'esempio di 23 mette in evidenza quanto segue:
Quindi dobbiamo 23 possiamo anche scriverlo come:
23 = 6 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1.
