Homothety: proprietà, tipi ed esempi
L' omotetia è un cambiamento geometrico nel piano in cui, da un punto fisso chiamato centro (O), le distanze vengono moltiplicate per un fattore comune. In questo modo, ciascun punto P corrisponde ad un altro punto P 'prodotto della trasformazione, e questi sono allineati con il punto O.
Quindi, l'omotetà è una corrispondenza tra due figure geometriche, in cui i punti trasformati sono chiamati omotetici, e questi sono allineati con un punto fisso e con segmenti paralleli tra loro.
homotecia
L'omotetia è una trasformazione che non ha un'immagine congruente, perché da una figura si otterranno una o più figure di dimensioni maggiori o minori rispetto alla figura originale; vale a dire che l'omotizzazione trasforma un poligono in un altro simile.
Perché l'omotità si compia, devono corrispondere da punto a punto e dritto al dritto, in modo che le coppie di punti omologhi siano allineate con un terzo punto fisso, che è il centro dell'omoteta.
Allo stesso modo, le coppie di linee che si uniscono a loro devono essere parallele. La relazione tra tali segmenti è una costante chiamata rapporto di omotetia (k); in modo tale che l'omotità possa essere definita come:
Per fare questo tipo di trasformazione iniziamo scegliendo un punto arbitrario, che sarà il centro dell'omoteria.
Da questo punto, i segmenti di linea vengono disegnati per ciascun vertice della figura che deve essere trasformata. La scala su cui è fatta la riproduzione della nuova figura è data dal rapporto tra l'omotetà (k).
proprietà
Una delle proprietà principali dell'ostilità è che, per la ragione dell'omotesi (k), tutte le figure omotetiche sono simili. Tra le altre proprietà eccezionali sono le seguenti:
- Il centro dell'omoteta (O) è l'unico doppio punto e questo diventa se stesso; cioè, non varia.
- Le linee che passano attraverso il centro si trasformano (sono doppie), ma i punti che lo compongono non sono il doppio.
- Le linee che non passano attraverso il centro si trasformano in linee parallele; in tal modo, gli angoli dell'omotetà rimangono gli stessi.
- L'immagine di un segmento di un'omotetà del centro O e del rapporto k, è un segmento parallelo ad esso e ha k volte la sua lunghezza. Ad esempio, come si vede nell'immagine seguente, un segmento AB per omotetico risulterà in un altro segmento A'B ', in modo che AB sia parallelo a A'B' e il k sarà:
- Gli angoli omotetici sono congruenti; cioè, hanno la stessa misura. Pertanto, l'immagine di un angolo è un angolo che ha la sua stessa ampiezza.
D'altra parte, l'omotetia varia a seconda del valore del suo rapporto (k), e possono verificarsi i seguenti casi:
- Se la costante k = 1, tutti i punti sono fissi perché si trasformano. Quindi, la figura omotetica coincide con l'originale e la trasformazione si chiamerà funzione di identità.
- Se k ≠ 1, l'unico punto fisso sarà il centro dell'omoteta (O).
- Se k = -1, l'omotetia diventa una simmetria centrale (C); cioè, una rotazione attorno a C avverrà con un angolo di 180 °.
- Se k> 1, la dimensione della figura trasformata sarà maggiore della dimensione dell'originale.
- Se 0 <k <1, la dimensione della figura trasformata sarà inferiore a quella dell'originale.
- Se -1 <k <0, la dimensione della figura trasformata sarà minore e verrà ruotata rispetto all'originale.
- Se k <-1, la dimensione della figura trasformata sarà maggiore e ruotata rispetto all'originale.
tipo
L'omotità può anche essere classificata in due tipi, a seconda del valore del suo rapporto (k):
Omotenza diretta
Succede se la costante k> 0; cioè, i punti omotetici sono dalla stessa parte rispetto al centro:
Il fattore di proporzionalità o rapporto di somiglianza tra figure omotetiche dirette sarà sempre positivo.
Reverse homothetic
Succede se la costante k <0; vale a dire, i punti iniziali e quelli omotetici si trovano negli estremi opposti rispetto al centro dell'omotetà, ma allineati ad esso. Il centro sarà tra le due figure:
Il fattore di proporzionalità o rapporto di somiglianza tra le figure inverse omotetiche sarà sempre negativo.
composizione
Quando vari movimenti vengono fatti successivamente fino ad ottenere una cifra uguale all'originale, si verifica una composizione di movimenti. La composizione di diversi movimenti è anche un movimento.
La composizione tra due omotossie si traduce in una nuova homothecia; cioè, abbiamo un prodotto omotetico in cui il centro sarà allineato con il centro delle due trasformazioni originali e il rapporto (k) è il prodotto delle due ragioni.
Pertanto, nella composizione di due omotene H 1 (O 1, k 1 ) e H 2 (O 2, k 2 ), la moltiplicazione dei loro rapporti: k 1 x k 2 = 1 si tradurrà in un'omoteta del rapporto k 3 = k 1 x k 2 Il centro di questa nuova omoteta (O 3 ) si troverà sulla linea O 1 O 2 .
L'omotità corrisponde ad un cambiamento piatto e irreversibile; se vengono applicati due omopoi che hanno lo stesso centro e rapporto ma con un segno diverso, si otterrà la cifra originale.
Esempi
Primo esempio
Applicare un'omoteta al dato poligono centrale (O), situato a 5 cm dal punto A e il cui rapporto è k = 0, 7.
soluzione
Ogni punto è scelto come il centro dell'omoteria, e da questo raggio sono disegnati dai vertici della figura:
La distanza dal centro (O) al punto A è OA = 5; con questo puoi determinare la distanza di uno dei punti omotetici (OA ') sapendo anche che k = 0, 7:
OA '= kx OA.
OA '= 0, 7 x 5 = 3, 5.
Il processo può essere fatto per ogni vertice, oppure puoi anche disegnare il poligono omogene ricordando che i due poligoni hanno lati paralleli:
Infine, la trasformazione ha questo aspetto:
Secondo esempio
Applicare un'omoteta al dato poligono centrale (O), situato a 8, 5 cm dal punto C e il cui rapporto y k = -2.
soluzione
La distanza dal centro (O) al punto C è OC = 8, 5; con questi dati è possibile determinare la distanza di uno dei punti omotetici (OC '), sapendo anche che k = -2:
OC '= kx OC.
OC '= -2 x 8, 5 = -17
Dopo aver disegnato i segmenti dei vertici del poligono trasformato, abbiamo che i punti iniziali e i loro omotetici si trovano nelle estremità opposte rispetto al centro:
