Trasformazioni isometriche: composizione, tipi ed esempi
Le trasformazioni isometriche sono cambiamenti di posizione o di orientamento di una certa figura che non ne alterano la forma o la dimensione. Queste trasformazioni sono classificate in tre tipi: traduzione, rotazione e riflessione (isometria). In generale, le trasformazioni geometriche consentono di creare una nuova figura da un'altra data.
Una trasformazione in una figura geometrica significa che, in qualche modo, è stato sottoposto ad alcuni cambiamenti; cioè, che era alterato. Secondo il senso dell'originale e del simile nel piano, le trasformazioni geometriche possono essere classificate in tre tipi: isometrico, isomorfo e anamorfico.
lineamenti
Le trasformazioni isometriche si verificano quando vengono preservate le grandezze dei segmenti e gli angoli tra l'originale e la figura trasformata.
In questo tipo di trasformazione, né la forma né la dimensione della figura sono alterate (sono congruenti), è solo un cambiamento di posizione della figura, sia nell'orientamento che nella direzione. In questo modo, le figure iniziali e finali saranno simili e geometricamente congruenti.
Isometry si riferisce all'eguaglianza; vale a dire che le figure geometriche saranno isometriche se hanno la stessa forma e dimensione.
Nelle trasformazioni isometriche l'unica cosa che si può osservare è un cambio di posizione nel piano, si verifica un movimento rigido grazie al quale la figura passa da una posizione iniziale a una posizione finale. Questa figura è denominata omologa (simile) all'originale.
Esistono tre tipi di movimenti che classificano una trasformazione isometrica: traslazione, rotazione e riflessione o simmetria.
tipo
Per traduzione
Sono quelle isometrie che permettono di spostare in linea retta tutti i punti dell'aereo in una certa direzione e distanza.
Quando una figura viene trasformata dalla traduzione, non cambia il suo orientamento rispetto alla posizione iniziale, né perde le sue misure interne, le misure dei suoi angoli e lati. Questo tipo di spostamento è definito da tre parametri:
- Una direzione, che può essere orizzontale, verticale o obliqua.
- Un senso, che può essere a sinistra, a destra, in alto o in basso.
- Distanza o grandezza, che è la lunghezza dalla posizione iniziale alla fine di qualsiasi punto che si muove.
Affinché una trasformazione isometrica mediante traduzione sia soddisfatta, deve soddisfare le seguenti condizioni:
- La figura deve sempre mantenere tutte le sue dimensioni, sia lineari che angolari.
- La figura non cambia la sua posizione rispetto all'asse orizzontale; cioè, il suo angolo non varia mai.
- Le traduzioni saranno sempre riepilogate in una, indipendentemente dal numero di traduzioni effettuate.
In un piano in cui il centro è un punto O, con coordinate (0, 0), la traslazione è definita da un vettore T (a, b), che indica lo spostamento del punto iniziale. Quello è:
P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)
Ad esempio, se una traduzione T (-4, 7) viene applicata al punto di coordinate P (8, -2), otteniamo:
P (8, -2) + T (-4, 7) = P '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P' (4, 5)
Nell'immagine seguente (a sinistra) si può vedere come il punto C si è mosso in coincidenza con il punto D. Lo ha fatto nella direzione verticale, la direzione era verso l'alto e il CD della distanza o della magnitudine era di 8 metri. Nell'immagine a destra si osserva la traduzione di un triangolo:
Per rotazione
Sono quelle isometrie che permettono alla figura di ruotare tutti i punti di un aereo. Ogni punto ruota seguendo un arco che ha un angolo costante e un punto fisso (centro di rotazione) determinato.
Cioè, tutta la rotazione sarà definita dal suo centro di rotazione e dall'angolo di rotazione. Quando una figura viene trasformata per rotazione, mantiene la misura dei suoi angoli e lati.
La rotazione avviene in una certa direzione, è positiva quando la rotazione è antioraria (contrariamente a quanto le lancette dell'orologio ruotano) e negativa quando la sua rotazione è in senso orario.
Se un punto (x, y) viene ruotato rispetto all'origine - cioè, il suo centro di rotazione è (0, 0) -, con un angolo compreso tra 90 ° e 360 ° le coordinate dei punti saranno:
Nel caso in cui la rotazione non abbia un centro all'origine, l'origine del sistema di coordinate deve essere trasferita alla nuova origine data, in modo da poter ruotare la figura avendo l'origine come centro.
Ad esempio, se al punto P (-5.2) viene assegnata una rotazione di 90 °, attorno all'origine e in direzione positiva, le sue nuove coordinate saranno (-2.5).
Per riflessione o simmetria
Sono quelle trasformazioni che invertono i punti e le figure dell'aereo. Questo investimento può essere rispetto ad un punto o può essere anche rispetto ad una linea.
In altre parole, in questo tipo di trasformazione, ogni punto della figura originale è associato ad un altro punto (immagine) della figura omologa, in modo tale che il punto e la sua immagine si trovino alla stessa distanza da una linea chiamata asse di simmetria. .
Pertanto, la parte sinistra della figura sarà un riflesso della parte destra, senza modificare la sua forma o le sue dimensioni. La simmetria trasforma una figura in un'altra, sebbene nella direzione opposta, come si può vedere nell'immagine seguente:
La simmetria è presente in molti aspetti, come in alcune piante (girasoli), animali (pavone) e fenomeni naturali (fiocchi di neve). L'essere umano lo riflette sul suo volto, che è considerato un fattore di bellezza. La riflessione o simmetria può essere di due tipi:
Simmetria centrale
È quella trasformazione che si verifica rispetto a un punto, in cui la figura può cambiare il suo orientamento. Ogni punto della figura originale e la sua immagine si trovano alla stessa distanza da un punto O, chiamato centro di simmetria. La simmetria è centrale quando:
- Sia il punto che la sua immagine e il centro appartengono alla stessa linea.
- Con una rotazione di 180 ° del centro O si ottiene una cifra uguale all'originale.
- I tratti della figura iniziale sono paralleli ai tratti della figura formata.
- Il senso della figura non cambia, sarà sempre in senso orario.
Questa trasformazione avviene rispetto all'asse di simmetria, dove ogni punto della figura iniziale è associato ad un altro punto dell'immagine e questi sono alla stessa distanza dall'asse di simmetria. La simmetria è assiale quando:
- Il segmento che unisce un punto con la sua immagine è perpendicolare al suo asse di simmetria.
- Le figure cambiano direzione rispetto alla svolta o in senso orario.
- Quando si divide la figura con una linea centrale (asse di simmetria), una delle metà risultante coincide completamente con un'altra delle metà.
composizione
Una composizione di trasformazioni isometriche si riferisce alla successiva applicazione di trasformazioni isometriche sulla stessa figura.
Composizione di una traduzione
La composizione di due traduzioni si traduce in un'altra traduzione. Quando si esegue sul piano, sull'asse orizzontale (x) cambiano solo le coordinate di quell'asse, mentre le coordinate dell'asse verticale (y) rimangono le stesse e viceversa.
Composizione di una rotazione
La composizione di due turni con lo stesso centro risulta in un altro turno, che ha lo stesso centro e la cui ampiezza sarà la somma delle ampiezze delle due curve.
Se il centro delle virate ha un centro diverso, il taglio della bisettrice di due segmenti di punti simili sarà il centro di rotazione.
Composizione di una simmetria
In questo caso, la composizione dipenderà da come viene applicata:
- Se la stessa simmetria viene applicata due volte, il risultato sarà un'identità.
- Se vengono applicate due simmetrie rispetto a due assi paralleli, il risultato sarà una traslazione e il suo spostamento è il doppio della distanza di tali assi:
- Se vengono applicate due simmetrie rispetto a due assi tagliati nel punto O (al centro), verrà ottenuta una rotazione con centro in O e il suo angolo sarà il doppio dell'angolo formato dagli assi:
