Factoring: metodi ed esempi
La fattorizzazione è un metodo attraverso il quale un polinomio viene espresso sotto forma di moltiplicazione di fattori, che possono essere numeri, lettere o entrambi. Raggruppare i fattori che sono comuni ai termini sono raggruppati, e in questo modo il polinomio è scomposto in diversi polinomi.
Pertanto, quando i fattori si moltiplicano, il risultato è il polinomio originale. Il factoring è un metodo molto utile quando si hanno espressioni algebriche, perché può essere convertito nella moltiplicazione di diversi termini semplici; ad esempio: 2a2 + 2ab = 2a * (a + b).
Ci sono casi in cui un polinomio non può essere fattorizzato perché non esiste un fattore comune tra i suoi termini; quindi, queste espressioni algebriche sono divisibili solo tra loro e per 1. Ad esempio: x + y + z.
In un'espressione algebrica il fattore comune è il massimo comun divisore dei termini che lo compongono.
Metodi di factoring
Esistono diversi metodi di factoring, che vengono applicati a seconda del caso. Alcuni di questi sono i seguenti:
Factoring dal fattore comune
In questo metodo, vengono identificati i fattori che sono comuni; cioè, quelli che si ripetono nei termini dell'espressione. Quindi viene applicata la proprietà distributiva, il massimo comune divisore viene rimosso e la fattorizzazione viene completata.
In altre parole, il fattore di espressione comune viene identificato e ogni termine è diviso tra esso; i termini risultanti saranno moltiplicati per il più grande fattore comune per esprimere la fattorizzazione.
Esempio 1
Fattore (b2x) + (b2y).
soluzione
Innanzitutto troviamo il fattore comune di ciascun termine, che in questo caso è b2, e quindi divide i termini tra il fattore comune come segue:
(b2x) / b2 = x
(b2y) / b2 = y.
La fattorizzazione è espressa moltiplicando il fattore comune per i termini risultanti:
(b2x) + (b2y) = b2 (x + y).
Esempio 2
Fattore (2a2b3) + (3ab2).
soluzione
In questo caso abbiamo due fattori che si ripetono in ogni termine che sono "a" e "b", e che sono elevati a un potere. Per tenerli in considerazione, in primo luogo i due termini sono suddivisi nella loro forma lunga:
2 * a * a * b * b * b + 3a * b * b
Si può osservare che il fattore "a" è ripetuto una sola volta nel secondo termine e il fattore "b" è ripetuto due volte in esso; quindi nel primo termine c'è solo 2, un fattore "a" e un "b"; mentre nel secondo termine rimane solo 3.
Pertanto, scriviamo i tempi in cui "a" e "b" sono ripetuti e moltiplicati per i fattori che sono rimasti da ogni termine, come visto nell'immagine:
Fattorizzazione per raggruppamento
Poiché in tutti i casi il massimo comune divisore di un polinomio è chiaramente espresso, è necessario prendere altre misure per poter riscrivere il polinomio e quindi il fattore.
Uno di questi passaggi consiste nel raggruppare i termini del polinomio in più gruppi e quindi utilizzare il metodo del fattore comune.
Esempio 1
Fattore ac + bc + ad + bd.
soluzione
Ci sono 4 fattori in cui due sono comuni: nel primo termine è «c» e nel secondo è «d». In questo modo i due termini sono raggruppati e separati:
(ac + bc) + (annuncio + bd).
Ora è possibile applicare il metodo del fattore comune, dividendo ciascun termine per il suo fattore comune e quindi moltiplicando quel fattore comune per i termini risultanti, in questo modo:
(ac + bc) / c = a + b
(annuncio + bd) / d = a + b
c (a + b) + d (a + b).
Ora ottieni un binomio comune a entrambi i termini. Per fattore è moltiplicato per i fattori rimanenti; in questo modo devi:
ac + bc + ad + bd = (c + d) * (a + b).
Fattorizzazione mediante ispezione
Questo metodo è usato per calcolare i polinomi quadratici, chiamati anche trinomiali; cioè, quelli che sono strutturati come ax2 ± bx + c, dove il valore di "a" è diverso da 1. Questo metodo è anche usato quando il trinomio ha la forma x2 ± bx + c e il valore di "a" = 1 .
Esempio 1
Fattore x2 + 5x + 6.
soluzione
Abbiamo un trinomio quadratico della forma x2 ± bx + c. Per calcolarlo prima devi trovare due numeri che, moltiplicati, danno come risultato il valore di «c» (cioè 6) e che la sua somma è uguale al coefficiente «b», che è 5. Questi numeri sono 2 e 3 :
2 * 3 = 6
2 + 3 = 5.
In questo modo, l'espressione è semplificata in questo modo:
(x2 + 2x) + (3x + 6)
Ogni termine è fattorizzato:
- Per (x2 + 2x) viene estratto il termine comune: x (x + 2)
- Per (3x + 6) = 3 (x + 2)
Quindi, l'espressione rimane:
x (x +2) + 3 (x +2).
Dato che hai un binomio comune, per ridurre l'espressione, moltiplicalo per i termini in eccesso e devi:
x2 + 5x + 6 = (x + 2) * (x + 3).
Esempio 2
Fattore 4a2 + 12a + 9 = 0.
soluzione
Abbiamo un trinomio quadratico della forma ax2 ± bx + c e per fattorizzarlo moltiplichiamo tutta l'espressione per il coefficiente di x2; in questo caso, 4.
4a2 + 12a +9 = 0
4a2 (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)
16 a2 + 12a (4) + 36 = 0
42 a2 + 12a (4) + 36 = 0
Ora dobbiamo trovare due numeri che, quando si moltiplicano a vicenda, danno come risultato il valore di "c" (che è 36) e che se sommati insieme danno come risultato il coefficiente del termine "a", che è 6.
6 * 6 = 36
6 + 6 = 12.
In questo modo l'espressione viene riscritta, tenendo conto che 42 a2 = 4a * 4a. Pertanto, la proprietà distributiva viene applicata per ogni termine:
(4a + 6) * (4a + 6).
Infine, l'espressione è divisa per il coefficiente di a2; cioè 4:
(4a + 6) * (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) * ((4a + 6) / 2).
L'espressione è la seguente:
4a2 + 12a +9 = (2a +3) * (2a + 3).
Factoring con prodotti notevoli
Ci sono casi in cui, per tenere pienamente conto dei polinomi con i metodi precedenti, diventa un processo molto lungo.
Ecco perché un'espressione può essere sviluppata con le formule dei prodotti notevoli e quindi il processo diventa più semplice. Tra i prodotti più importanti sono:
- Differenza di due quadrati: (a2 - b2) = (a - b) * (a + b)
- Quadrato perfetto di una somma: a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2
- Quadrato perfetto di una differenza: a2 - 2ab + b2 = (a - b) 2
- Differenza di due cubetti: a3 - b3 = (ab) * (a2 + ab + b2)
- Somma di due cubetti: a3 - b3 = (a + b) * (a2 - ab + b2)
Esempio 1
Factorize (52 - x2)
soluzione
In questo caso c'è una differenza di due quadrati; pertanto, si applica la formula del notevole prodotto:
(a2 - b2) = (a - b) * (a + b)
(52 - x2) = (5 - x) * (5 + x)
Esempio 2
Fattore 16x2 + 40x + 252
soluzione
In questo caso abbiamo un quadrato perfetto di una somma, perché possiamo identificare due termini al quadrato, e il termine rimanente è il risultato della moltiplicazione di due per la radice quadrata del primo termine, per la radice quadrata del secondo termine.
a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2
Per fattore, vengono calcolate solo le radici quadrate del primo e del terzo termine:
√ (16x2) = 4x
√ (252) = 5.
Quindi i due termini risultanti sono separati dal segno dell'operazione e l'intero polinomio è quadrato:
16x2 + 40x + 252 = (4x + 5) 2.
Esempio 3
Fattore 27a3 - b3
soluzione
L'espressione rappresenta una sottrazione in cui due fattori vengono generati nel cubo. Per calcolarli, viene applicata la formula del prodotto notevole della differenza cubo, che è:
a3 - b3 = (ab) * (a2 + ab + b2)
Quindi, per fattorizzare, la radice cubica di ciascun termine del binomio viene estratta e moltiplicata per il quadrato del primo termine, più il prodotto del primo dal secondo termine, più il secondo termine dal quadrato.
27a3 - b3
³√ (27a3) = 3a
³√ (-b3) = -b
27a3 - b3 = (3a - b) * [(3a) 2 + 3ab + b2)]
27a3 - b3 = (3a - b) * (9a2 + 3ab + b2)
Factoring con la regola di Ruffini
Questo metodo viene utilizzato quando si ha un polinomio di grado maggiore di due, al fine di semplificare l'espressione a diversi polinomi di grado minore.
Esempio 1
Fattore Q (x) = x4 - 9x2 + 4x + 12
soluzione
Prima cerca i numeri che sono divisori di 12, che è il termine indipendente; questi sono ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 e ± 12.
Quindi la x viene sostituita da questi valori, dal più basso al più alto, e quindi viene determinato con quale dei valori la divisione sarà esatta; cioè, il resto deve essere 0:
x = -1
Q (-1) = (-1) 4 - 9 (-1) 2 + 4 (-1) + 12 = 0.
x = 1
Q (1) = 14 - 9 (1) 2 + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.
x = 2
Q (2) = 24 - 9 (2) 2 + 4 (2) + 12 = 0.
E così via per ogni divisore. In questo caso, i fattori trovati sono per x = -1 e x = 2.
Ora viene applicato il metodo Ruffini, in base al quale i coefficienti dell'espressione saranno divisi tra i fattori trovati per la divisione per essere esatti. I termini polinomiali sono ordinati dall'esponente dal più alto al più basso; nel caso in cui manchi un termine con il grado che segue nella sequenza, uno 0 è posto al suo posto.
I coefficienti si trovano in uno schema come mostrato nell'immagine seguente.
Il primo coefficiente viene abbassato e moltiplicato per il divisore. In questo caso, il primo divisore è -1 e il risultato viene inserito nella colonna successiva. Quindi il valore del coefficiente viene aggiunto verticalmente con quel risultato che è stato ottenuto e il risultato è posto sotto. In questo modo, il processo viene ripetuto fino all'ultima colonna.
Quindi la stessa procedura viene ripetuta di nuovo, ma con il secondo divisore (che è 2) perché l'espressione può ancora essere semplificata.
Quindi, per ogni radice ottenuta, il polinomio avrà un termine (x - a), dove "a" è il valore della radice:
(x - (-1)) * (x - 2) = (x + 1) * (x - 2)
D'altra parte, questi termini devono essere moltiplicati per il resto della regola di Ruffini 1: 1 e -6, che sono fattori che rappresentano un grado. In questo modo l'espressione che si forma è: (x2 + x - 6).
Ottenere il risultato della fattorizzazione del polinomio secondo il metodo Ruffini è:
x4 - 9x2 + 4x + 12 = (x + 1) * (x - 2) * (x2 + x - 6)
Per finire, il polinomio di grado 2 che appare nell'espressione precedente può essere riscritto come (x + 3) (x-2). Pertanto, la fattorizzazione finale è:
x4 - 9x2 + 4x + 12 = (x + 1) * (x - 2) * (x + 3) * (x-2).
