Teorema di Euclide: formule, dimostrazione, applicazione ed esercizi

Il teorema di Euclide dimostra le proprietà di un triangolo rettangolo disegnando una linea che la divide in due nuovi triangoli rettangoli che sono simili tra loro e, a loro volta, sono simili al triangolo originale; allora, c'è una relazione di proporzionalità.

Euclide fu uno dei più grandi matematici e geometri dell'antichità che fece numerose dimostrazioni di importanti teoremi. Uno dei principali è quello che porta il suo nome, che ha avuto una vasta applicazione.

Questo è stato così perché, attraverso questo teorema, spiega in modo semplice le relazioni geometriche esistenti nel triangolo rettangolo, dove le gambe di questo sono legate alle loro proiezioni nell'ipotenusa.

Formule e dimostrazione

Il teorema di Euclide propone che in ogni triangolo rettangolo, quando viene disegnata una linea, che rappresenta l'altezza corrispondente al vertice dell'angolo retto rispetto all'ipotenusa, vengono formati due triangoli rettangoli dall'originale.

Questi triangoli saranno simili tra loro e saranno anche simili al triangolo originale, il che significa che i loro lati simili sono proporzionali tra loro:

Gli angoli dei tre triangoli sono congruenti; vale a dire, che quando viene ruotato di 180 gradi sul suo vertice, un angolo coincide con l'altro. Ciò implica che tutti saranno uguali.

In questo modo puoi anche verificare la somiglianza che esiste tra i tre triangoli, dall'uguaglianza dei loro angoli. Dalla somiglianza dei triangoli, Euclide stabilisce le proporzioni di questi da due teoremi:

- Teorema dell'altezza.

- Teorema delle gambe.

Questo teorema ha una vasta applicazione. Nell'antichità veniva usato per calcolare altezze o distanze, rappresentando un grande progresso per la trigonometria.

Attualmente è applicato in diverse aree che si basano su matematica, come ingegneria, fisica, chimica e astronomia, tra molte altre aree.

Teorema dell'altezza

Questo teorema afferma che in qualsiasi triangolo rettangolo, l'altezza disegnata dall'angolo retto rispetto all'ipotenusa è la media proporzionale geometrica (il quadrato dell'altezza) tra le proiezioni delle gambe che determina l'ipotenusa.

Cioè, il quadrato dell'altezza sarà uguale alla moltiplicazione delle gambe proiettate che formano l'ipotenusa:

h c 2 = m * n

spettacolo

Dato un triangolo ABC, che è un rettangolo al vertice C, quando si traccia l'altezza vengono generati due triangoli rettangoli simili, ADC e BCD; pertanto, i loro lati corrispondenti sono proporzionali:

Quindi l'altezza h c che corrisponde al segmento CD corrisponde all'ipotenusa AB = c, quindi dobbiamo:

A sua volta, ciò corrisponde a:

Cancellando l'ipotenusa (h c ), per moltiplicare i due membri dell'uguaglianza, devi:

h c * h c = m * n

h c 2 = m * n

Quindi, il valore dell'ipotenusa è dato da:

Teorema delle gambe

Questo teorema afferma che, in ogni triangolo rettangolo, la misura di ogni gamba sarà la media proporzionale geometrica (il quadrato di ciascuna gamba) tra la misurazione dell'ipotenusa (completa) e la proiezione di ciascuno su di essa:

b2 = c * m

a2 = c * n

spettacolo

Dato un triangolo ABC, che è un rettangolo nel vertice C, tale che la sua ipotenusa è c, quando si traccia l'altezza (h), vengono determinate le proiezioni delle gambe aeb, che sono rispettivamente i segmenti m e n. l'ipotenusa.

Quindi, abbiamo che l'altezza disegnata sul triangolo destro ABC genera due triangoli rettangoli simili, ADC e BCD, in modo che i lati corrispondenti siano proporzionali, come questo:

DB = n, che è la proiezione della gamba CB sull'ipotenusa.

AD = m, che è la proiezione del cateto AC sull'ipotenusa.

Quindi, l'ipotenusa c è determinata dalla somma delle gambe delle sue sporgenze:

c = m + n

A causa della somiglianza dei triangoli ADC e BCD, dobbiamo:

Quanto sopra è lo stesso di:

Svuotando la gamba "a" per moltiplicare i due membri dell'uguaglianza, si deve:

a * a = c * n

a2 = c * n

Pertanto, il valore della gamba "a" è dato da:

Allo stesso modo, per la somiglianza dei triangoli ACB e ADC, dobbiamo:

Quanto sopra è uguale a:

Liberando la gamba "b" per moltiplicare i due membri dell'uguaglianza, si deve:

b * b = c * m

b2 = c * m

Pertanto, il valore della gamba "b" è dato da:

Relazione tra i teoremi di Euclide

I teoremi relativi all'altezza e alle gambe sono correlati tra loro perché la misurazione di entrambi è fatta rispetto all'ipotenusa del triangolo rettangolo.

Attraverso la relazione dei teoremi di Euclide si può anche trovare il valore dell'altezza; ciò è possibile cancellando i valori di m e n dal teorema della gamba e sostituendoli nel teorema dell'altezza. In questo modo, l'altezza è uguale alla moltiplicazione delle gambe, divisa per l'ipotenusa:

b2 = c * m

m = b2 ÷ c

a2 = c * n

n = a2 ÷ c

Nel teorema dell'altezza, myn è sostituito:

h c 2 = m * n

h c 2 = (b2 ÷ c) * (a2 ÷ c)

h c = (b2 * a2) ÷ c

Esercizi risolti

Esempio 1

Dato il triangolo ABC, rettangolo in A, determinare la misura di AC e AD, se AB = 30 cm e BD = 18 cm

soluzione

In questo caso abbiamo le misure di una delle gambe proiettate (BD) e di una delle gambe del triangolo originale (AB). In questo modo, il teorema della gamba può essere applicato per trovare il valore della gamba BC.

AB2 = BD * BC

(30) 2 = 18 * BC

900 = 18 * BC

BC = 900 ÷ 18

AC = 50 cm

Il valore del cateto CD può essere trovato sapendo che BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Ora è possibile determinare il valore del cateto AC, applicando nuovamente il teorema della gamba:

AC2 = CD * BD

AC2 = 32 * 50

AC2 = 160

AC = √1600 = 40 cm

Per determinare il valore dell'altezza (AD) viene applicato il teorema dell'altezza, poiché i valori delle gambe proiettate CD e BD sono noti:

AD2 = 32 * 18

AD2 = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Esempio 2

Determina il valore dell'altezza (h) di un triangolo MNL, rettangolo in N, conoscendo le misure dei segmenti:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

soluzione

Hai la misura di una delle gambe proiettata sull'ipotenusa (PM), così come le misure delle gambe del triangolo originale. In questo modo, il teorema delle gambe può essere applicato per trovare il valore dell'altra gamba proiettata (LN):

NL2 = PM * LM

(10) 2 = 5 * LM

100 = 5 * LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Come già sappiamo il valore delle gambe e l'ipotenusa, attraverso la relazione dei teoremi dell'altezza e delle gambe, si può determinare il valore dell'altezza:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b2 * a2) ÷ c.

h = (102 * 52) ÷ (20)

h = (100 * 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.