Algebra vettoriale: nozioni di base, magnitudini, vettori
L'algebra vettoriale è una branca della matematica responsabile dello studio di sistemi di equazioni lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali e loro trasformazioni lineari. È correlato a settori come ingegneria, risoluzione di equazioni differenziali, analisi funzionale, ricerca operativa, computer grafica, tra gli altri.
Un'altra area che ha adottato l'algebra lineare è la fisica, perché attraverso questo è stato sviluppato per studiare i fenomeni fisici, descrivendoli attraverso l'uso di vettori. Ciò ha reso possibile una migliore comprensione dell'universo.
fondazioni
L'algebra vettoriale proveniva dallo studio dei quaternioni (estensione dei numeri reali) 1, i, j, ek, così come la geometria cartesiana promossa da Gibbs e Heaviside, che realizzò che i vettori sarebbero serviti come strumento per rappresentano vari fenomeni fisici.
L'algebra vettoriale è studiata attraverso tre basi:
geometricamente
I vettori sono rappresentati da linee che hanno un orientamento e operazioni come addizione, sottrazione e moltiplicazione per numeri reali sono definite attraverso metodi geometrici.
analiticamente
La descrizione dei vettori e le loro operazioni sono fatte con numeri, chiamati componenti. Questo tipo di descrizione è il risultato di una rappresentazione geometrica perché viene utilizzato un sistema di coordinate.
assiomaticamente
Viene fatta una descrizione dei vettori, indipendentemente dal sistema di coordinate o da qualsiasi tipo di rappresentazione geometrica.
Lo studio delle figure nello spazio viene fatto attraverso la loro rappresentazione in un sistema di riferimento, che può essere in una o più dimensioni. Tra i principali sistemi sono:
- Sistema monodimensionale, che è una linea in cui un punto (O) rappresenta l'origine e un altro punto (P) determina la scala (lunghezza) e la direzione di esso:
- Sistema di coordinate rettangolari (bidimensionale), che è composto da due linee perpendicolari denominate asse xe asse y, che passano attraverso un'origine punto (O); in questo modo l'aereo è diviso in quattro regioni chiamate quadranti. In questo caso un punto (P) nel piano è dato dalle distanze che esistono tra gli assi e P.
- Sistema di coordinate polari (bidimensionale). In questo caso, il sistema è composto da un punto O (origine) che è chiamato polo e raggio con origine O chiamato asse polare. In questo caso il punto P del piano, con riferimento al polo e all'asse polare, è dato dall'angolo (Ɵ), che è formato dalla distanza tra l'origine e il punto P.
- Sistema tridimensionale rettangolare, formato da tre linee perpendicolari (x, y, z) che hanno come origine un punto O nello spazio. Sono formati tre piani coordinati: xy, xz e yz; lo spazio sarà diviso in otto regioni chiamate ottanti. Il riferimento di un punto P dello spazio è dato dalle distanze che esistono tra i piani e P.
grandezze
Una grandezza è una grandezza fisica che può essere contata o misurata attraverso un valore numerico, come nel caso di alcuni fenomeni fisici; tuttavia, è spesso necessario essere in grado di descrivere questi fenomeni con altri fattori che non sono numerici. Questo è il motivo per cui le grandezze sono classificate in due tipi:
Magnitudo scalare
Sono quelle quantità che sono definite e rappresentate numericamente; cioè, da un modulo insieme a un'unità di misura. Ad esempio:
a) Tempo: 5 secondi.
b) Massa: 10 kg.
c) Volume: 40 ml.
d) Temperatura: 40 ºC.
Magnitudine vettoriale
Sono quelle quantità che sono definite e rappresentate da un modulo insieme a un'unità, oltre che da un senso e una direzione. Ad esempio:
a) Velocità: (5ȋ - 3ĵ) m / s.
b) Accelerazione: 13 m / s2; S 45º E.
c) Forza: 280 N, 120º.
d) Peso: -40 ĵ kg-f.
Le grandezze vettoriali sono rappresentate graficamente dai vettori.
Quali sono i vettori?
I vettori sono rappresentazioni grafiche di una grandezza vettoriale; vale a dire, sono segmenti di linea retta in cui la loro estremità finale è la punta di una freccia.
Questi sono determinati dal suo modulo o lunghezza del segmento, il suo significato è indicato dalla punta della sua freccia e dalla sua direzione in base alla linea a cui appartiene. L'origine di un vettore è anche conosciuta come il punto di applicazione.
Gli elementi di un vettore sono i seguenti:
modulo
È la distanza dall'origine alla fine di un vettore, rappresentata da un numero reale insieme a un'unità. Ad esempio:
| OM | = | A | = A = 6 cm
indirizzo
È la misura dell'angolo tra l'asse x (dal positivo) e il vettore, così come i punti cardinali (nord, sud, est e ovest).
senso
È dato dalla punta della freccia situata alla fine del vettore, che indica dove è diretto.
Classificazione dei vettori
Generalmente, i vettori sono classificati come:
Vettore fisso
È quello il cui punto di applicazione (origine) è fisso; vale a dire che rimane legato a un punto dello spazio, motivo per cui non può essere spostato in questo.
Vettoriali gratis
Può muoversi liberamente nello spazio perché la sua origine si sposta in qualsiasi punto senza cambiare modulo, senso o direzione.
Vettore scorrevole
È quello che può spostare la sua origine lungo la sua linea di azione senza cambiare modulo, direzione o direzione.
Proprietà dei vettori
Tra le principali proprietà dei vettori sono i seguenti:
Vettori di Equipolentes
Sono quei vettori liberi che hanno lo stesso modulo, direzione (o sono paralleli) e percepiscono un vettore scorrevole o un vettore fisso.
Vettori equivalenti
Succede quando due vettori hanno la stessa direzione (o sono paralleli), lo stesso senso, e nonostante abbiano diversi moduli e punti di applicazione, causano gli stessi effetti.
Uguaglianza dei vettori
Hanno lo stesso modulo, direzione e senso, anche se i loro punti di partenza sono diversi, il che consente a un vettore parallelo di spostarsi senza influenzarlo.
Vettori opposti
Sono quelli che hanno lo stesso modulo e la stessa direzione, ma il loro significato è opposto.
Unità vettoriale
È quello in cui il modulo è uguale all'unità (1). Ciò si ottiene dividendo il vettore per il suo modulo e viene usato per determinare la direzione e il senso di un vettore, nel piano o nello spazio, usando i vettori normalizzati base o unitizzati, che sono:
Vettore nullo
È quello il cui modulo è uguale a 0; cioè, il loro punto di origine e fine coincidono nello stesso punto.
Componenti di un vettore
I componenti di un vettore sono quei valori delle proiezioni del vettore sugli assi del sistema di riferimento; A seconda della scomposizione del vettore, che può essere in assi bidimensionali o tridimensionali, saranno ottenuti rispettivamente due o tre componenti.
I componenti di un vettore sono numeri reali, che possono essere positivi, negativi o addirittura zero (0).
Quindi, se abbiamo un vettore À, che ha origine in un sistema di coordinate rettangolari nel piano xy (bidimensionale), la proiezione sull'asse x è Àx e la proiezione sull'asse y è Āy. Pertanto, il vettore sarà espresso come la somma dei suoi vettori componenti.
Esempi
Primo esempio
Abbiamo un vettore che inizia dall'origine e le coordinate delle sue estremità sono date. Quindi, il vettore Ā = (Ā x ; A y ) = (4; 5) cm.
Se il vettore agisce all'origine di un sistema di coordinate triangolare tridimensionale (nello spazio) x, y, z, in un altro punto (P), le proiezioni sui suoi assi saranno Àx, Ày e Àz; quindi, il vettore sarà espresso come la somma dei suoi tre vettori componenti.
Secondo esempio
Abbiamo un vettore che inizia dall'origine e le coordinate delle sue estremità sono date. Quindi, il vettore Ā = (A x ; A y; A z ) = (4; 6; -3) cm.
I vettori che hanno le loro coordinate rettangolari possono essere espressi in termini dei loro vettori di base. Per questo, solo ciascuna coordinata deve essere moltiplicata per il suo rispettivo vettore unitario, in modo tale che per il piano e lo spazio saranno i seguenti:
Per l'aereo: Â = A x i + A e j.
Per lo spazio: Ā = A x i + A e j + A z k.
Operazioni con i vettori
Ci sono molte magnitudini che hanno un modulo, senso e direzione, come accelerazione, velocità, spostamento, forza, tra gli altri.
Questi sono applicati in varie aree della scienza e per applicarli è necessario in alcuni casi eseguire operazioni come addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione di vettori e scalari.
Addizione e sottrazione di vettori
L'addizione e la sottrazione di vettori sono considerate un'unica operazione algebrica perché la sottrazione può essere scritta come somma; ad esempio, la sottrazione di vettori À e Ē può essere espressa come:
 - Ē =  + (-Ē)
Esistono diversi metodi per eseguire l'addizione e la sottrazione dei vettori: possono essere grafici o analitici.
Metodi grafici
Usato quando un vettore ha un modulo, un senso e una direzione. Per fare ciò, vengono disegnate delle linee che formano una figura che in seguito aiuterà a determinare la risultante. Tra i più noti, spiccano i seguenti:
Metodo a parallelogramma
Per fare l'addizione o la sottrazione di due vettori, un punto viene scelto in comune sull'asse delle coordinate, che rappresenterà il punto di origine dei vettori, mantenendo il modulo, la direzione e la direzione.
Quindi le linee vengono disegnate parallelamente ai vettori per formare un parallelogramma. Il vettore risultante è la diagonale che parte dal punto di origine di entrambi i vettori fino al vertice del parallelogramma:
Metodo del triangolo
In questo metodo i vettori sono posizionati uno accanto all'altro, mantenendo i loro moduli, le direzioni e le direzioni. Il vettore risultante sarà l'unione dell'origine del primo vettore con la fine del secondo vettore:
Metodi analitici
Puoi aggiungere o sottrarre due o più vettori attraverso un metodo geometrico o vettoriale:
Metodo geometrico
Quando due vettori formano un triangolo o un parallelogramma, il modulo e la direzione del vettore risultante possono essere determinati usando le leggi di seno e coseno. Quindi, il modulo del vettore risultante, applicando la legge del coseno e il metodo del triangolo, è dato da:
In questa formula β è l'angolo opposto al lato R, e questo è uguale a 180º - Ɵ.
Al contrario, con il metodo del parallelogramma il modulo vettoriale risultante è:
La direzione del vettore risultante è data dall'angolo (α), che forma il risultante con uno dei vettori.
Secondo la legge del seno, l'addizione o la sottrazione dei vettori può anche essere effettuata con il metodo del triangolo o del parallelogramma, sapendo che in ogni triangolo i lati sono proporzionali al seno degli angoli:
Metodo vettoriale
Questo può essere fatto in due modi: a seconda delle loro coordinate rettangolari o dei loro vettori di base.
Può essere fatto trasferendo i vettori che devono essere aggiunti o sottratti all'origine delle coordinate e quindi tutte le proiezioni su ciascuno degli assi per il piano (x, y) o lo spazio (x, e, z); infine, i suoi componenti vengono aggiunti algebricamente. Quindi, per l'aereo è:
Il modulo del vettore risultante è:
Mentre per lo spazio è:
Il modulo del vettore risultante è:
Quando si eseguono somme vettoriali vengono applicate diverse proprietà, che sono:
- Proprietà associativa: la risultante non cambia quando si aggiungono prima due vettori e quindi si aggiunge un terzo vettore.
- Proprietà commutativa: l'ordine dei vettori non altera il risultante.
- Proprietà distributiva vettoriale: se uno scalare viene moltiplicato per la somma di due vettori, è uguale alla moltiplicazione dello scalare per ciascun vettore.
- Proprietà distributiva scalare: se un vettore viene moltiplicato per la somma di due scalari, è uguale alla moltiplicazione del vettore per ogni scalare.
Moltiplicazione dei vettori
La moltiplicazione o il prodotto di vettori potrebbe essere fatto come addizione o sottrazione, ma nel far ciò, perde il significato fisico e non viene quasi mai trovato all'interno delle applicazioni. Per questo motivo, i tipi di prodotti più comunemente utilizzati sono il prodotto scalare e vettoriale.
Prodotto scalare
È anche noto come prodotto punto di due vettori. Quando i moduli di due vettori vengono moltiplicati per il coseno dell'angolo minore che si forma tra loro, si ottiene uno scalare. Per posizionare un prodotto scalare tra due vettori, viene inserito un punto tra di essi e questo può essere definito come:
Il valore dell'angolo che esiste tra i due vettori dipenderà dal fatto che siano paralleli o perpendicolari; Quindi, devi:
- Se i vettori sono paralleli e hanno lo stesso senso, coseno 0º = 1.
- Se i vettori sono paralleli e hanno sensi opposti, il coseno 180º = -1.
- Se i vettori sono perpendicolari, coseno 90º = 0.
Quell'angolo può anche essere calcolato sapendo che:
Il prodotto scalare ha le seguenti proprietà:
- Proprietà commutativa: l'ordine dei vettori non altera lo scalare.
- Proprietà distributiva: se uno scalare viene moltiplicato per la somma di due vettori, è uguale alla moltiplicazione dello scalare per ciascun vettore.
Prodotto vettoriale
La moltiplicazione vettoriale, o prodotto incrociato di due vettori A e B, darà come risultato un nuovo vettore C ed è espressa usando una croce tra i vettori:
Il nuovo vettore avrà le sue caratteristiche. In questo modo:
- La direzione: questo nuovo vettore sarà perpendicolare al piano, che è determinato dai vettori originali.
- Il senso: questo è determinato con la regola della mano destra, dove il vettore A viene ruotato verso la B puntando la direzione della rotazione con le dita, e con il pollice viene segnato il senso del vettore.
- Il modulo: è determinato dalla moltiplicazione dei moduli dei vettori AxB, dal seno dell'angolo più piccolo esistente tra questi vettori. È espresso:
Il valore dell'angolo che esiste tra i due vettori dipenderà dal fatto che siano paralleli o perpendicolari. Quindi, è possibile affermare quanto segue:
- Se i vettori sono paralleli e hanno lo stesso senso, sin 0º = 0.
- Se i vettori sono paralleli e hanno sensi opposti, seno 180º = 0.
- Se i vettori sono perpendicolari, seno 90º = 1.
Quando un prodotto vettoriale è espresso in termini di vettori di base, deve:
Il prodotto scalare ha le seguenti proprietà:
- Non è commutativo: l'ordine dei vettori altera lo scalare.
- Proprietà distributiva: se uno scalare viene moltiplicato per la somma di due vettori, è uguale alla moltiplicazione dello scalare per ciascun vettore.
