Equazioni polinomiali (con esercizi risolti)
Le equazioni polinomiali sono un'affermazione che solleva l'uguaglianza di due espressioni o membri, dove almeno uno dei termini che compongono ciascun lato dell'uguaglianza sono polinomi P (x). Queste equazioni sono denominate in base al grado delle loro variabili.
In generale, un'equazione è un'affermazione che stabilisce l'uguaglianza di due espressioni, in cui almeno una di queste contiene quantità sconosciute, che sono chiamate variabili o incognite. Sebbene esistano molti tipi di equazioni, sono generalmente classificati in due tipi: algebrico e trascendentale.
Le equazioni polinomiali contengono solo espressioni algebriche, che possono avere una o più incognite coinvolte nell'equazione. Secondo l'esponente (grado) possono essere classificati in: primo grado (lineare), secondo grado (quadratico), terzo grado (cubico), quarto grado (quartico), maggiore o uguale a cinque e irrazionale.
lineamenti
Le equazioni polinomiali sono espressioni formate da un'uguaglianza tra due polinomi; cioè, dalle somme finite di moltiplicazioni tra valori sconosciuti (variabili) e numeri fissi (coefficienti), in cui le variabili possono avere esponenti, e il loro valore può essere un numero intero positivo, compreso lo zero.
Gli esponenti determinano il grado o il tipo di equazione. Quel termine dell'espressione che ha l'esponente del valore più alto rappresenterà il grado assoluto del polinomio.
Le equazioni polinomiali sono anche conosciute come algebriche, i loro coefficienti possono essere numeri reali o complessi e le variabili sono numeri sconosciuti rappresentati da una lettera, come "x".
Se si sostituisce un valore con la variabile "x" in P (x) il risultato è uguale a zero (0), allora si dice che questo valore soddisfa l'equazione (è una soluzione) ed è generalmente chiamato la radice del polinomio.
Quando si sviluppa un'equazione polinomiale, si vogliono trovare tutte le radici o soluzioni.
tipo
Esistono diversi tipi di equazioni polinomiali, che sono differenziate in base al numero di variabili e anche in base al loro grado di esponente.
Pertanto, le equazioni polinomiali - dove il primo termine è un polinomio con una sola incognita, considerando che il suo grado può essere qualsiasi numero naturale (n) e il secondo termine è zero-, possono essere espresse come segue:
a n * xn + a n-1 * xn-1 + ... + a 1 * x1 + a 0 * x 0 = 0
dove:
- a n, a n-1 e 0, sono coefficienti reali (numeri).
- a n è diverso da zero.
- L'esponente n è un numero intero positivo che rappresenta il grado dell'equazione.
- x è la variabile o lo sconosciuto che deve essere ricercato.
Il grado assoluto o maggiore di un'equazione polinomiale è quell'esponente di maggior valore tra tutti quelli che formano il polinomio; in questo modo, le equazioni sono classificate come:
Primo grado
Le equazioni polinomiali di primo grado, note anche come equazioni lineari, sono quelle in cui il grado (il più grande esponente) è uguale a 1, il polinomio è della forma P (x) = 0; ed è composto da un termine lineare e un termine indipendente. È scritto come segue:
ax + b = 0.
dove:
- aeb sono numeri reali già ≠ 0.
- ax è il termine lineare.
- b è il termine indipendente.
Ad esempio, l'equazione 13x - 18 = 4x.
Per risolvere equazioni lineari tutti i termini che contengono la x sconosciuta devono essere passati su un lato dell'eguaglianza e quelli che non hanno lo stesso movimento verso l'altro lato, per eliminarlo e ottenere una soluzione:
13x - 18 = 4x
13x = 4x + 18
13x - 4x = 18
9x = 18
x = 18 ÷ 9
x = 2
In questo modo, l'equazione data ha una singola soluzione o radice, che è x = 2.
Seconda elementare
Le equazioni polinomiali di secondo grado, note anche come equazioni quadratiche, sono quelle in cui il grado (l'esponente più grande) è uguale a 2, il polinomio è della forma P (x) = 0 ed è composto da un termine quadratico, uno lineare e uno indipendente. È espresso come segue:
ax2 + bx + c = 0.
dove:
- a, b e c sono numeri reali già ≠ 0.
- ax2 è il termine quadratico e "a" è il coefficiente del termine quadratico.
- bx è il termine lineare e "b" è il coefficiente del termine lineare.
- c è il termine indipendente.
resolvente
Generalmente, la soluzione a questo tipo di equazioni è data dalla cancellazione di x dall'equazione, e viene lasciata come segue, che è chiamata risolutore:
Lì, (b2 - 4ac) è chiamato il discriminante dell'equazione e questa espressione determina il numero di soluzioni che l'equazione può avere:
- Se (b2 - 4ac) = 0, l'equazione avrà una singola soluzione che è doppia; cioè, avrai due soluzioni uguali.
- Se (b2 - 4ac)> 0, l'equazione avrà due diverse soluzioni reali.
- Se (b2 - 4ac) <0, l'equazione non ha soluzione (avrà due diverse soluzioni complesse).
Ad esempio, abbiamo l'equazione 4x2 + 10x - 6 = 0, per risolverlo prima identifichiamo i termini a, b e c, e quindi sostituiamolo nella formula:
a = 4
b = 10
c = -6.
Ci sono casi in cui le equazioni polinomiali di secondo grado non hanno i tre termini, ed è per questo che vengono risolti in modo diverso:
- Nel caso in cui le equazioni quadratiche non abbiano il termine lineare (cioè b = 0), l'equazione sarà espressa come ax2 + c = 0. Per risolverlo, x2 viene cancellato e le radici quadrate vengono applicate in ogni membro, ricordando che dovrebbero essere considerati i due possibili segni che possono avere l'incognito:
ax2 + c = 0.
x2 = - c ÷ a
Ad esempio, 5 x2 - 20 = 0.
5 x2 = 20
x2 = 20 ÷ 5
x = ± √4
x = ± 2
x 1 = 2
x 2 = -2
- Quando l'equazione quadratica non ha un termine indipendente (cioè, c = 0), l'equazione sarà espressa come ax2 + bx = 0. Per risolverlo, dobbiamo estrarre il fattore comune della x sconosciuta nel primo membro; poiché l'equazione è uguale a zero, è vero che almeno uno dei fattori sarà uguale a 0:
ax2 + bx = 0.
x (ax + b) = 0.
In questo modo, devi:
x = 0
x = -b ÷ a.
Ad esempio: hai l'equazione 5x2 + 30x = 0. Primo fattore:
5x2 + 30x = 0
x (5x + 30) = 0.
Vengono generati due fattori xy (5x + 30). Si considera che uno di questi sarà uguale a zero e verrà fornita l'altra soluzione:
x 1 = 0
5x + 30 = 0
5x = -30
x = -30 ÷ 5
x 2 = -6.
Laurea
Le equazioni polinomiali di grado maggiore sono quelle che vanno dal terzo grado in poi, che possono essere espresse o risolte con l'equazione polinomiale generale per qualsiasi grado:
a n * xn + a n-1 * xn-1 + ... + a 1 * x1 + a 0 * x 0 = 0
Questo è usato perché un'equazione con un grado maggiore di due è il risultato della fattorizzazione di un polinomio; cioè, è espresso come la moltiplicazione dei polinomi di grado uno o più, ma senza radici reali.
La soluzione di questo tipo di equazioni è diretta, perché la moltiplicazione di due fattori sarà uguale a zero se uno qualsiasi dei fattori è nullo (0); pertanto, ciascuna delle equazioni polinomiali trovate deve essere risolta, eguagliando ciascuno dei suoi fattori a zero.
Ad esempio, hai l'equazione di terzo grado (cubico) x3 + x2 + 4x + 4 = 0. Per risolverlo devi seguire i seguenti passi:
- I termini sono raggruppati:
x3 + x2 + 4x + 4 = 0
(x3 + x2) + (4x + 4) = 0.
- I membri sono suddivisi per ottenere il fattore comune dell'ignoto:
x2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0
(x2 + 4) * (x + 1) = 0.
- In questo modo si ottengono due fattori, che devono essere uguali a zero:
(x2 + 4) = 0
(x + 1) = 0.
- Si può vedere che il fattore (x2 + 4) = 0 non avrà una soluzione reale, mentre il fattore (x + 1) = 0 fa. Pertanto, la soluzione è:
(x + 1) = 0
x = -1
Esercizi risolti
Risolvi le seguenti equazioni:
Primo esercizio
(2x2 + 5) * (x - 3) * (1 + x) = 0.
soluzione
In questo caso l'equazione è espressa come la moltiplicazione dei polinomi; cioè, è fattorizzato. Per risolverlo, ogni fattore deve essere uguale a zero:
- 2x2 + 5 = 0, non ha soluzione.
- x - 3 = 0
- x = 3
- 1 + x = 0
- x = - 1.
Pertanto, l'equazione data ha due soluzioni: x = 3 e x = -1.
Secondo esercizio
x4 - 36 = 0
soluzione
E 'stato dato un polinomio, che può essere riscritto come una differenza di quadrati per arrivare a una soluzione più veloce. Pertanto, l'equazione rimane:
(x2 + 6) * (x2 - 6) = 0.
Per trovare la soluzione delle equazioni, entrambi i fattori sono uguali a zero:
(x2 + 6) = 0, non ha soluzione.
(x2 - 6) = 0
x2 = 6
x = ± √6.
Pertanto, l'equazione iniziale ha due soluzioni:
x = √6.
x = - √6.
