Riduzione di termini simili (con esercizi risolti)
La riduzione di termini simili è un metodo utilizzato per semplificare le espressioni algebriche. In un'espressione algebrica, termini simili sono quelli che hanno la stessa variabile; cioè, hanno le stesse incognite rappresentate da una lettera e hanno gli stessi esponenti.
In alcuni casi i polinomi sono estesi e per raggiungere una soluzione dovresti cercare di ridurre l'espressione; Questo è possibile quando ci sono termini simili, che possono essere combinati applicando operazioni e proprietà algebriche come addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.
spiegazione
Termini simili sono formati dalle stesse variabili con gli stessi esponenti, e in alcuni casi questi sono solo differenziati dai loro coefficienti numerici.
Anche termini simili sono considerati quelli che non hanno variabili; cioè, quei termini che hanno solo costanti. Quindi, ad esempio, i seguenti sono termini simili:
- 6x2 - 3x2. Entrambi i termini hanno la stessa variabile x2.
- 4a2b3 + 2a2b3. Entrambi i termini hanno le stesse variabili a2b3.
- 7 - 6. I termini sono costanti.
I termini che hanno le stesse variabili ma con esponenti diversi sono chiamati termini non simili, come ad esempio:
- 9a2b + 5ab. Le variabili hanno diversi esponenti.
- 5x + y. Le variabili sono diverse.
- b - 8. Un termine ha una variabile, l'altra è una costante.
Identificando i termini simili che formano un polinomio, questi possono essere ridotti a uno, combinando tutti quelli che hanno le stesse variabili con eguali esponenti. In questo modo, l'espressione viene semplificata diminuendo il numero di termini che lo compongono e il calcolo della sua soluzione è facilitato.
Come fare una riduzione di termini simili?
La riduzione di termini simili viene effettuata applicando la proprietà associativa dell'aggiunta e la proprietà distributiva del prodotto. Utilizzando la seguente procedura si può fare una riduzione dei termini:
- Prima i termini simili sono raggruppati.
- I coefficienti (i numeri che accompagnano le variabili) dei termini simili sono aggiunti o sottratti e le proprietà associative, commutative o distributive sono applicate, a seconda dei casi.
- Dopo aver scritto i nuovi termini ottenuti, ponendo di fronte a questi il segno risultante dall'operazione.
esempio
Riduci i termini dell'espressione seguente: 10x + 3y + 4x + 5y.
soluzione
Innanzitutto, i termini sono ordinati per raggruppare quelli che sono simili, applicando la proprietà commutativa:
10x + 3y + 4x + 5y = 10x + 4x + 3y + 5y.
Quindi viene applicata la proprietà distributiva e vengono aggiunti i coefficienti che accompagnano le variabili per ottenere la riduzione dei termini:
10x + 4x + 3y + 5y
= (10 + 4) x + (3 + 5) e
= 14x + 8y.
Per ridurre termini simili è importante tenere conto dei segni che hanno i coefficienti che accompagnano la variabile. Ci sono tre possibili casi:
Riduzione di termini simili con segni uguali
In questo caso vengono aggiunti i coefficienti e prima del risultato viene inserito il segno dei termini. Pertanto, se sono positivi, i termini risultanti saranno positivi; nel caso in cui i termini siano negativi, il risultato avrà il segno (-) accompagnato dalla variabile. Ad esempio:
a) 22ab2 + 12ab2 = 34 ab2.
b) -18x3 - 9x3 - 6 = -27x3 - 6.
Riduzione di termini simili con segni diversi
In questo caso i coefficienti vengono sottratti e davanti al risultato viene posizionato il segno del coefficiente maggiore. Ad esempio:
a) 15x2y - 4x2y + 6x2y - 11x2y
= (15x2y + 6x2y) + (- 4x2y - 11x2y)
= 21x2y + (-15x2y)
= 21x2y - 15x2y
= 6x2y.
b) -5a3b + 3 a3b - 4a3b + a3b
= (3 a3b + a3b) + (-5a3b - 4a3b)
= 4a3b - 9a3b
= -5 a3b.
In questo modo, per ridurre i termini simili che hanno segni diversi, si forma un singolo termine additivo con tutti quelli con un segno positivo (+), i coefficienti vengono aggiunti e il risultato è accompagnato dalle variabili.
Allo stesso modo si forma un termine sottrattivo, con tutti quei termini che hanno un segno negativo (-), i coefficienti vengono aggiunti e il risultato è accompagnato dalle variabili.
Alla fine le somme dei due termini formati vengono sottratte e viene posto il risultato del segno del maggiore.
Riduzione di termini simili nelle operazioni
La riduzione di termini simili è un'operazione di algebra, che può essere applicata in aggiunta, sottrazione, moltiplicazione e divisione algebrica.
In somma
Quando si hanno diversi polinomi con termini simili, per ridurli, si ordinano i termini di ogni polinomio mantenendo i suoi segni, quindi si scrive uno dopo l'altro e si riducono i termini simili. Ad esempio, abbiamo i seguenti polinomi:
3x - 4xy + 7x2y + 5xy2.
- 6x2y - 2xy + 9 xy2 - 8x.
In sottrazione
Per sottrarre un polinomio da un altro, il minuend viene scritto e quindi il sottraendo con i suoi segni modificati, e quindi viene effettuata la riduzione dei termini simili. Ad esempio:
5a3 - 3ab2 + 3b2c
6ab2 + 2a3 - 8b2c
Pertanto, i polinomi sono riassunti in 3a3 - 9ab2 + 11b2c.
In moltiplicazioni
In un prodotto di polinomi moltiplichiamo i termini che compongono il multiplicand per ogni termine che forma il moltiplicatore, considerando che i segni di moltiplicazione rimangono gli stessi se sono positivi.
Saranno cambiati solo se moltiplicati per un termine che è negativo; cioè, quando si moltiplicano due termini dello stesso segno, il risultato sarà positivo (+), e quando hanno segni diversi il risultato sarà negativo (-).
Ad esempio:
a) (a + b) * (a + b)
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2.
b) (a + b) * (a - b)
= a2 - ab + ab - b2
= a2 - b2.
c) (a - b) * (a - b)
= a2 - ab - ab + b2
= a2 - 2ab + b2.
Nelle divisioni
Quando vuoi ridurre due polinomi attraverso una divisione devi trovare un terzo polinomio che, moltiplicato per il secondo (divisore), comporti il primo polinomio (dividendo).
Per questo, i termini del dividendo e del divisore devono essere ordinati, da sinistra a destra, in modo che le variabili in entrambi siano nello stesso ordine.
Quindi viene effettuata la divisione, a partire dal primo termine a sinistra del dividendo tra il primo a sinistra del divisore, tenendo sempre conto dei segni di ciascun termine.
Ad esempio, riduci il polinomio: 10x4 - 48x3y + 51x2y2 + 4xy3 - 15y4 dividendolo tra il polinomio: -5x2 + 4xy + 3y2.
Il polinomio risultante è -2x2 + 8xy - 5y2.
Esercizi risolti
Primo esercizio
Riduci i termini dell'espressione algebrica data:
15a2 - 8ab + 6a2 - 6ab - 9 + 4a2 - 13 ab.
soluzione
Viene applicata la proprietà commutativa della somma, raggruppando i termini che hanno le stesse variabili:
15a2 - 8ab + 6a2 - 6ab + 9 + 4a2 - 13
= (15a2 + 6a2 + 4a2) + (- 8ab - 6ab) + (9 - 13).
Quindi viene applicata la proprietà distributiva della moltiplicazione:
15a2 - 8ab + 6a2 - 6ab + 9 + 4a2 - 13
= (15 + 6 + 4) a2 + (- 8 - 6) ab + (9 - 13).
Infine, vengono semplificati aggiungendo e sottraendo i coefficienti di ciascun termine:
15a2 - 8ab + 6a2 - 6ab + 9 + 4a2 - 13
= 25a2 - 14ab - 4.
Secondo esercizio
Semplificare il prodotto dei seguenti polinomi:
(8x3 + 7xy2) * (8x3 - 7 xy2).
soluzione
Moltiplicare ciascun termine del primo polinomio per il secondo, tenendo conto che i segni dei termini sono diversi; pertanto, il risultato della sua moltiplicazione sarà negativo, proprio come devono essere applicate anche le leggi degli esponenti.
(8x3 + 7xy2) * (8x3 - 7xy2)
= 64 x6 - 56 x3 * xy2 + 56 x3 * xy2 - 49 x2y4
= 64 x6 - 49 x2y4.
