Derivati successivi (con esercizi risolti)

Le derivate successive sono le derivate di una funzione dopo la derivata seconda. Il processo per calcolare le derivate successive è il seguente: abbiamo una funzione f, che possiamo derivare e quindi ottenere la funzione derivativa f '. A questa derivata di f possiamo derivarla di nuovo, ottenendo (f ')'.

Questa nuova funzione è chiamata seconda derivata; tutti i derivati calcolati dal secondo sono successivi; Questi, chiamati anche ordine superiore, hanno grandi applicazioni, come dare informazioni sulla trama del grafico di una funzione, il secondo test derivato per gli estremi relativi e la determinazione di serie infinite.

definizione

Usando la notazione di Leibniz, abbiamo che la derivata di una funzione "y" rispetto a "x" è dy / dx. Per esprimere la seconda derivata di "e" usando la notazione Leibniz, scriviamo come segue:

In generale, possiamo esprimere le derivate successive come segue con la notazione Leibniz, dove n rappresenta l'ordine della derivata.

Altre notazioni utilizzate sono le seguenti:

Alcuni esempi in cui possiamo vedere le diverse notazioni sono:

Esempio 1

Ottieni tutte le derivate della funzione f definite da:

Usando le solite tecniche di derivazione, abbiamo che la derivata di f è:

Ripetendo il processo possiamo ottenere la seconda derivata, la terza derivata e così via.

Nota che la quarta derivata è zero e la derivata di zero è zero, quindi dobbiamo:

Esempio 2

Calcola la quarta derivata della seguente funzione:

Come risultato della funzione data abbiamo come risultato:

Velocità e accelerazione

Una delle motivazioni che hanno portato alla scoperta della derivata è stata la ricerca della definizione di velocità istantanea. La definizione formale è la seguente:

Sia y = f (t) una funzione il cui grafico descrive la traiettoria di una particella in un istante t, quindi la sua velocità in un istante t è data da:

Una volta ottenuta la velocità di una particella, possiamo calcolare l'accelerazione istantanea, che è definita come segue:

L'accelerazione istantanea di una particella il cui percorso è dato da y = f (t) è:

Esempio 1

Una particella si muove su una linea secondo la funzione di posizione:

Dove "e" è misurato in metri e "t" in secondi.

- In quale momento è la tua velocità 0?

- A che momento è la sua accelerazione 0?

Quando si ricava la funzione di posizione «e» si ha che la sua velocità e accelerazione sono date rispettivamente da:

Per rispondere alla prima domanda, è sufficiente determinare quando la funzione v diventa zero; questo è:

Procediamo analogamente alla seguente domanda:

Esempio 2

Una particella si muove su una linea secondo la seguente equazione del moto:

Determina «t, y» e «v» quando a = 0.

Sapendo che velocità e accelerazione sono date da

Procediamo per derivare e ottenere:

Facendo a = 0, abbiamo:

Da cui possiamo dedurre che il valore di t per a essere uguale a zero è di t = 1.

Quindi, valutando la funzione di posizione e la funzione di velocità in t = 1, dobbiamo:

applicazioni

Derivazione amplificata

Le derivate successive possono anche essere ottenute mediante derivazione implicita.

esempio

Data la seguente ellisse, trova «e»:

Derivando implicitamente rispetto all'ascia, abbiamo:

Quindi, ritornando implicitamente rispetto all'ascia, ci dà:

Infine, abbiamo:

Fini relativi

Un altro uso che possiamo dare ai derivati del secondo ordine è nel calcolo delle estremità relative di una funzione.

Il criterio della prima derivata per gli estremi locali ci dice che, se abbiamo una funzione f continua in un intervallo (a, b) e esiste una c che appartiene a quell'intervallo tale che è annullata in c (cioè, quella c è un punto critico), uno di questi tre casi può verificarsi:

- Se f '(x)> 0 per qualsiasi x che appartiene a (a, c) ed f' (x) <0 per x che appartiene a (c, b), allora f (c) è un massimo locale.

- Se f '(x) 0 per x che appartiene a (c, b), allora f (c) è un minimo locale.

- Se f '(x) ha lo stesso segno in (a, c) e in (c, b), implica che f (c) non è un endpoint locale.

Utilizzando il criterio della derivata seconda possiamo sapere se un numero critico di una funzione è un massimo o minimo locale, senza dover vedere quale sia il segno della funzione negli intervalli sopra menzionati.

Il secondo criterio di derivazione ci dice che se f '(c) = 0 e che f' '(x) è continuo in (a, b), succede che se f' '(c)> 0 allora f (c) è un minimo locale e se f '' (c) <0 allora f (c) è un massimo locale.

Se f '' (c) = 0, non possiamo concludere nulla.

esempio

Data la funzione f (x) = x4 + (4/3) x3 - 4x2, trova i massimi e minimi relativi di f applicando il criterio della derivata seconda.

Per prima cosa calcoliamo f '(x) ed f' '(x) e abbiamo:

f '(x) = 4x3 + 4x2 - 8x

f '' (x) = 12x2 + 8x - 8

Ora, f '(x) = 0 se, e solo se 4x (x + 2) (x - 1) = 0, e questo accade quando x = 0, x = 1 o ox = - 2.

Per determinare se i numeri critici ottenuti sono estremi relativi, è sufficiente valutare in f '' e quindi osservare il suo segno.

f '' (0) = - 8, quindi f (0) è un massimo locale.

f '' (1) = 12, quindi f (1) è un minimo locale.

f '' (- 2) = 24, quindi f (- 2) è un minimo locale.

Serie di Taylor

Sia f una funzione definita come segue:

Questa funzione ha un raggio di convergenza R> 0 e ha le derivate di tutti gli ordini in (-R, R). Le derivate successive di f ci danno:

Prendendo x = 0, possiamo ottenere i valori di c _n come una funzione dei suoi derivati come segue:

Se prendiamo un = 0 come funzione f (ovvero f ^ 0 = f), possiamo riscrivere la funzione come segue:

Ora considera la funzione come una serie di poteri in x = a:

Se eseguiamo un'analisi analoga alla precedente, dovremmo scrivere la funzione f come:

Queste serie sono conosciute come serie Taylor di f in a. Quando a = 0 abbiamo il caso particolare che si chiama la serie Maclaurin. Questo tipo di serie ha una grande importanza matematica soprattutto nell'analisi numerica, poiché grazie a queste possiamo definire funzioni in computer come ex, sin (x) e cos (x).