Potenziale gradiente: caratteristiche, come calcolarlo ed esempio

Il gradiente potenziale è un vettore che rappresenta la relazione di cambiamento del potenziale elettrico rispetto alla distanza in ciascun asse di un sistema di coordinate cartesiano. Pertanto, il vettore del gradiente potenziale indica la direzione in cui la velocità di variazione del potenziale elettrico è maggiore, in funzione della distanza.

A sua volta, il modulo del gradiente potenziale riflette il tasso di variazione della variazione del potenziale elettrico in una particolare direzione. Se il valore di questo è noto in ogni punto di una regione spaziale, allora il campo elettrico può essere ottenuto dal gradiente potenziale.

Il campo elettrico è definito come un vettore, con il quale ha una direzione e un'ampiezza specifica. Determinando la direzione in cui il potenziale elettrico diminuisce più rapidamente - allontanandosi dal punto di riferimento - e dividendo questo valore per la distanza percorsa, si ottiene la grandezza del campo elettrico.

lineamenti

Il gradiente potenziale è un vettore delimitato da specifiche coordinate spaziali, che misura la relazione di cambiamento tra il potenziale elettrico e la distanza percorsa da detto potenziale.

Le caratteristiche più straordinarie del gradiente di potenziale elettrico sono dettagliate di seguito:

1- Il gradiente potenziale è un vettore. Pertanto, ha una grandezza e una direzione specifica.

2- Poiché il gradiente potenziale è un vettore nello spazio, ha magnitudini indirizzate negli assi X (larghezza), Y (alto) e Z (profondità), se il sistema di coordinate cartesiane è preso come riferimento.

3- Questo vettore è perpendicolare alla superficie equipotenziale nel punto in cui viene valutato il potenziale elettrico.

4- Il vettore del gradiente potenziale è diretto verso la direzione della massima variazione della funzione di potenziale elettrico in qualsiasi punto.

5- Il modulo del gradiente di potenziale è uguale a quello derivato dalla funzione di potenziale elettrico rispetto alla distanza percorsa nella direzione di ciascuno degli assi del sistema di coordinate cartesiano.

6- Il gradiente potenziale ha valore zero nei punti stazionari (punti massimi, minimi e sella).

7- Nel sistema internazionale di unità (SI), le unità di misura del gradiente potenziale sono volt / metri.

8- La direzione del campo elettrico è la stessa in cui il potenziale elettrico diminuisce più rapidamente la sua magnitudine. A sua volta, il gradiente potenziale punta nella direzione in cui il potenziale aumenta il suo valore in relazione a un cambiamento di posizione. Quindi, il campo elettrico ha lo stesso valore del gradiente potenziale, ma con il segno opposto.

Come si calcola?

La differenza di potenziale elettrico tra due punti (punto 1 e punto 2) è data dalla seguente espressione:

dove:

V1: potenziale elettrico al punto 1.

V2: potenziale elettrico nel punto 2.

E: grandezza del campo elettrico.

Ѳ: angolo l'inclinazione del vettore di campo elettrico misurato in relazione al sistema di coordinate.

Esprimendo detta formula in modo differenziale, si deduce quanto segue:

Il fattore E * cos (Ѳ) si riferisce al modulo della componente del campo elettrico nella direzione di dl. Sia L l'asse orizzontale del piano di riferimento, quindi cos (Ѳ) = 1, come questo:

Nel seguito, il quoziente tra la variazione del potenziale elettrico (dV) e la variazione della distanza percorsa (ds) è il modulo del gradiente potenziale per detto componente.

Ne consegue che l'entità del gradiente di potenziale elettrico è uguale alla componente del campo elettrico nella direzione dello studio, ma con il segno opposto.

Tuttavia, poiché l'ambiente reale è tridimensionale, il gradiente potenziale in un dato punto deve essere espresso come la somma di tre componenti spaziali sugli assi X, Y e Z del sistema cartesiano.

Abbattendo il vettore di campo elettrico nei suoi tre componenti rettangolari, abbiamo il seguente:

Se esiste una regione nel piano in cui il potenziale elettrico ha lo stesso valore, la derivata parziale di questo parametro rispetto a ciascuna delle coordinate cartesiane sarà zero.

Pertanto, nei punti che si trovano su superfici equipotenziali, l'intensità del campo elettrico avrà zero magnitudine.

Infine, il vettore del gradiente potenziale può essere definito esattamente come lo stesso vettore di campo elettrico (in ordine di grandezza), con segno opposto. Quindi, abbiamo il seguente:

esempio

Dai calcoli sopra indicati devi:

Tuttavia, prima di determinare il campo elettrico in funzione del gradiente potenziale, o viceversa, deve essere determinata la direzione in cui cresce la differenza di potenziale elettrico.

Successivamente, viene determinato il quoziente della variazione del potenziale elettrico e la variazione della distanza netta percorsa.

In questo modo si ottiene la grandezza del campo elettrico associato, che è uguale alla grandezza del gradiente potenziale in quella coordinata.

esercizio

Ci sono due piastre parallele, come mostrato nella figura seguente.

Passaggio 1

Viene determinata la direzione di crescita del campo elettrico sul sistema di coordinate cartesiane.

Il campo elettrico cresce solo nella direzione orizzontale, data la disposizione delle piastre parallele. Di conseguenza, è possibile dedurre che i componenti del gradiente potenziale sull'asse Y e l'asse Z sono zero.

Passaggio 2

I dati di interesse sono discriminati.

- Differenza potenziale: dV = V2 - V1 = 90 V - 0 V => dV = 90 V.

- Differenza di distanza: dx = 10 centimetri.

Per garantire la congruenza delle unità di misura utilizzate secondo il Sistema internazionale di unità, le quantità che non sono espresse in SI devono essere convertite di conseguenza. Quindi, 10 centimetri equivalgono a 0, 1 metri e infine: dx = 0, 1 metri.