Prodotto trasversale: proprietà, applicazioni e esercizi risolti

Il prodotto incrociato o vettoriale è un modo per moltiplicare due o più vettori. Ci sono tre modi per moltiplicare i vettori, ma nessuno di questi è una moltiplicazione nel solito senso della parola. Una di queste forme è conosciuta come un prodotto vettoriale, che si traduce in un terzo vettore.

Il prodotto vettoriale, che è anche chiamato prodotto incrociato o prodotto esterno, ha diverse proprietà algebriche e geometriche. Queste proprietà sono molto utili, specialmente nello studio della fisica.

definizione

Una definizione formale del prodotto vettoriale è la seguente: se A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3) sono vettori, allora il prodotto vettoriale di A e B, che indicheremo come AxB, è:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

A causa della notazione AxB, si legge come "A cross B".

Un esempio di come utilizzare il prodotto esterno è che se A = (1, 2, 3) e B = (3, -2, 4) sono vettori, quindi usando la definizione di prodotto vettoriale abbiamo:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Un altro modo di esprimere il prodotto vettoriale è dato dalla notazione determinante.

Il calcolo di un determinante del secondo ordine è dato da:

Pertanto, la formula del prodotto vettoriale fornita nella definizione può essere riscritta come segue:

Questo è solitamente semplificato in un determinante del terzo ordine come segue:

Dove i, j, k rappresentano i vettori che formano la base di R3.

Usando questo modo di esprimere il prodotto incrociato, abbiamo che l'esempio precedente può essere riscritto come:

proprietà

Alcune proprietà che possiede il prodotto vettoriale sono le seguenti:

Proprietà 1

Se A è un vettore in R3, dobbiamo:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Queste proprietà sono facili da controllare utilizzando solo la definizione. Se A = (a1, a2, a3) dobbiamo:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Se i, j, k rappresentano la base unitaria di R3, possiamo scriverli come segue:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Quindi, dobbiamo soddisfare le seguenti proprietà:

Come regola mnemonica, per ricordare queste proprietà viene solitamente utilizzato il seguente cerchio:

Dovremmo notare che qualsiasi vettore con se stesso produce il vettore 0, e il resto dei prodotti può essere ottenuto con la seguente regola:

Il prodotto incrociato di due vettori consecutivi in senso orario dà il seguente vettore; e quando si considera la direzione antioraria, il risultato è il seguente vettore con un segno negativo.

Grazie a queste proprietà possiamo vedere che il prodotto vettoriale non è commutativo; per esempio, è sufficiente notare che ixj ≠ jx i. La seguente proprietà ci dice come AxB e BxA si riferiscono in generale.

Proprietà 2

Se A e B sono vettori di R3, dobbiamo:

AxB = - (BxA).

spettacolo

Se A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3), per definizione di prodotto esterno abbiamo:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Possiamo anche osservare che questo prodotto non è associativo con il seguente esempio:

ix (ixj) = ixk = - j ma (ixi) xj = 0xj = 0

Da ciò possiamo osservare che:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Proprietà 3

Se A, B, C sono vettori di R3 e r è un numero reale, quanto segue è vero:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Grazie a queste proprietà possiamo calcolare il prodotto vettoriale usando le leggi dell'algebra, a condizione che l'ordine sia rispettato. Ad esempio:

Se A = (1, 2, 3) e B = (3, -2, 4), possiamo riscriverli secondo la base canonica di R3.

Quindi, A = i + 2j + 3k e B = 3i - 2j + 4k. Quindi, applicando le proprietà precedenti:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Proprietà 4 (prodotto scalare triplo)

Come accennato all'inizio, ci sono altri modi per moltiplicare i vettori oltre al prodotto vettoriale. Uno di questi modi è il prodotto scalare o il prodotto interno, che è indicato come A ∙ B e la cui definizione è:

Se A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3), allora A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

La proprietà che riguarda entrambi i prodotti è nota come prodotto scalare triplo.

Se A, B e C sono vettori di R3, allora A ∙ BxC = AxB ∙ C

Ad esempio, vediamo che, dato A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) e C = (- 5, 1, - 4), questa proprietà è soddisfatta.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

D'altra parte:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Un altro prodotto triplo è Ax (BxC), che è noto come prodotto a triplo vettore.

Proprietà 5 (prodotto vettoriale tripla)

Se A, B e C sono vettori di R3, allora:

Ascia (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Ad esempio, vediamo che, dato A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) e C = (- 5, 1, - 4), questa proprietà è soddisfatta.

Dall'esempio precedente sappiamo che BxC = (- 18, - 22, 17). Calcoliamo Ax (BxC):

Ascia (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

D'altra parte, dobbiamo:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Quindi, dobbiamo:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27, 19, -4)

Proprietà 6

È una delle proprietà geometriche dei vettori. Se A e B sono due vettori in R3 e Θ è l'angolo che si forma tra questi, allora:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), dove || ∙ || denota il modulo o la grandezza di un vettore.

L'interpretazione geometrica di questa proprietà è la seguente:

Sia A = PR e B = PQ. Quindi, l'angolo formato dai vettori A e B è l'angolo P del triangolo RQP, come mostrato nella figura seguente.

Pertanto, l'area del parallelogramma con i lati adiacenti PR e PQ è || A |||| B || sin (Θ), dal momento che possiamo prendere come base || A || e la sua altezza è data da || B || sin (Θ).

Per questo motivo, possiamo concludere che || AxB || è l'area di detto parallelogramma.

esempio

Dati i seguenti vertici di un quadrilatero P (1, -2, 3), Q (4, 3, -1), R (2, 2, 1) e S (5, 7, -3), mostra che detto quadrilatero È un parallelogramma e trova la sua area.

Per questo prima determiniamo i vettori che determinano la direzione dei lati del quadrilatero. Questo è:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Come possiamo osservare A e C hanno lo stesso vettore direttore, per il quale abbiamo che entrambi sono paralleli; nello stesso modo accade con B e D. Pertanto, concludiamo che PQRS è un parallelogramma.

Per avere l'area di detto parallelogramma, calcoliamo BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Pertanto, l'area al quadrato sarà:

|| BxA || 2 = (- 6) 2 + (- 2) 2 + (- 7) 2 = 36 + 4 + 49 = 89.

Si può concludere che l'area del parallelogramma sarà la radice quadrata di 89.

Proprietà 7

Due vettori A e B sono paralleli in R3 se e solo se AxB = 0

spettacolo

È chiaro che se A o B sono il vettore nullo, ne segue che AxB = 0. Poiché il vettore zero è parallelo a qualsiasi altro vettore, la proprietà è valida.

Se nessuno dei due vettori è il vettore zero, abbiamo che le loro grandezze sono diverse da zero; cioè, sia || A || ≠ 0 come || B || ≠ 0, quindi dovremo || AxB || = 0 se e solo se sin (Θ) = 0, e questo succede se e solo se Θ = π o Θ = 0.

Pertanto, possiamo concludere AxB = 0 se e solo se Θ = π o Θ = 0, che avviene solo quando entrambi i vettori sono paralleli tra loro.

Proprietà 8

Se A e B sono due vettori in R3, quindi AxB è perpendicolare sia a A che a B.

spettacolo

Per questa dimostrazione, ricorda che due vettori sono perpendicolari se A ∙ B è uguale a zero. Inoltre, sappiamo che:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, ma AxA è uguale a 0. Pertanto, dobbiamo:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Con ciò possiamo concludere che A e AxB sono perpendicolari tra loro. In modo analogo, dobbiamo:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Come BxB = 0, dobbiamo:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Pertanto, AxB e B sono perpendicolari tra loro e con questo viene dimostrata la proprietà. Questo è molto utile, dal momento che ci permettono di determinare l'equazione di un piano.

Esempio 1

Ottieni un'equazione del piano che passa attraverso i punti P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) e R (2, 1, 3).

Sia A = QR = (2 - 3, 1 + 2, 3 - 2) e B = PR = (2 - 1, 1 - 3, 3 - 2). Quindi A = - i + 3j + k e B = i - 2j + k. Per trovare il piano formato da quei tre punti, è sufficiente trovare un vettore che sia normale al piano, che è AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Con questo vettore, e prendendo il punto P (1, 3, 2), possiamo determinare l'equazione del piano come segue:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Quindi, abbiamo che l'equazione del piano è 5x + 2y - z - 9 = 0.

Esempio 2

Trova l'equazione del piano che contiene il punto P (4, 0, - 2) e che è perpendicolare a ciascuno dei piani x - y + z = 0 e 2x + y - 4z - 5 = 0.

Sapendo che un vettore normale su un piano ax + di + cz + d = 0 è (a, b, c), abbiamo che (1, -1, 1) è un vettore normale di x - y + z = 0 y ( 2.1, - 4) è un vettore normale di 2x + y - 4z - 5 = 0.

Quindi un vettore normale al piano desiderato deve essere perpendicolare a (1, -1, 1) e a (2, 1, - 4). Detto vettore è:

(1, -1, 1) x (2, 1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Quindi, abbiamo che il piano cercato è quello che contiene il punto P (4, 0, - 2) e ha il vettore (3, 6, 3) come vettore normale.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

applicazioni

Calcolo del volume di un parallelepipedo

Un'applicazione che ha il prodotto scalare triplo deve essere in grado di calcolare il volume di un parallelepipedo i cui bordi sono dati dai vettori A, B e C, come mostrato nella figura:

Possiamo dedurre questa applicazione nel modo seguente: come detto in precedenza, il vettore AxB è un vettore che è normale al piano di A e B. Abbiamo anche che il vettore - (AxB) è un altro vettore normale a detto piano.

Scegliamo il vettore normale che forma l'angolo più piccolo con il vettore C; senza perdita di generalità, sia AxB il vettore il cui angolo con C è il più piccolo.

Abbiamo che sia AxB che C hanno lo stesso punto di partenza. Inoltre, sappiamo che l'area del parallelogramma che costituisce la base del parallelepipedo è || AxB ||. Pertanto, se l'altezza del parallelepipedo è data da h, abbiamo che il suo volume sarà:

V = || AxB || h.

D'altra parte, si consideri il prodotto scalare tra AxB e C, che può essere descritto come segue:

Tuttavia, per proprietà trigonometriche abbiamo h = || C || cos (Θ), quindi dobbiamo:

In questo modo, dobbiamo:

In termini generali, abbiamo che il volume di un parallelepipedo è dato dal valore assoluto del prodotto scalare triplo AxB ∙ C.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Dati i punti P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) e S = (2, 6, 9), questi punti formano un parallelepipedo i cui bordi sono PQ, PR e PS. Determina il volume di detto parallelepipedo.

soluzione

Se prendiamo:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Usando la proprietà del prodotto scalare triplo, dobbiamo:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Pertanto, abbiamo che il volume di detto parallelepipedo è 52.

Esercizio 2

Determina il volume di un parallelepipedo i cui bordi sono dati da A = PQ, B = PR e C = PS, dove i punti P, Q, R e S sono (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) e (2, 2, 5), rispettivamente.