Prodotti notevoli: spiegazione ed esercizi risolti
I prodotti notevoli sono operazioni algebriche, dove si esprimono moltiplicazioni di polinomi, che non hanno bisogno di essere risolti tradizionalmente, ma con l'aiuto di certe regole si possono trovare i risultati di esse.
I polinomi vengono moltiplicati da soli, pertanto possono avere un numero elevato di termini e variabili. Per abbreviare il processo, vengono utilizzate le regole dei prodotti degni di nota, che consentono di effettuare moltiplicazioni senza dover andare a termine.
Prodotti ed esempi notevoli
Ogni prodotto notevole è una formula che deriva da una fattorizzazione, composta da polinomi di vari termini come binomi o trinomi, chiamati fattori.
I fattori sono la base di un potere e hanno un esponente. Quando i fattori si moltiplicano, gli esponenti devono essere aggiunti.
Esistono diverse formule di prodotti notevoli, alcune sono più usate di altre, a seconda dei polinomi, e sono le seguenti:
Binomiale al quadrato
È la moltiplicazione di un binomio di per sé, espresso nella forma del potere, in cui i termini vengono aggiunti o sottratti:
a. Somma binomiale: è uguale al quadrato del primo termine, più il doppio del prodotto dei termini, più il quadrato del secondo termine. È espresso come segue:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
La seguente figura mostra come il prodotto è sviluppato secondo la regola sopra citata. Il risultato è chiamato trinomio di un quadrato perfetto.
Esempio 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
Esempio 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2
(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.
b. Binomiale di una sottrazione al quadrato: si applica la stessa regola del binomio di una somma, solo che in questo caso il secondo termine è negativo. La sua formula è la seguente:
(a - b) 2 = [(a) + (- b)] 2
(a - b) 2 = a2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2.
Esempio 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 62
(2x - 6) 2 = 4x2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x2 - 24x + 36.
Prodotto di binomi coniugati
Due binomi sono coniugati quando i secondi termini di ciascuno sono di segni diversi, cioè quello del primo è positivo e quello del secondo negativo o viceversa. Risolvi alzando ogni quadrato monomy e sottrai. La sua formula è la seguente:
(a + b) * (a - b)
Nella figura seguente viene sviluppato il prodotto di due binomi coniugati, dove si osserva che il risultato è una differenza di quadrati.
Esempio 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b2)
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 - 9b2.
Prodotto di due binomiali con un termine comune
È uno dei prodotti più complessi e poco usati perché è una moltiplicazione di due binomi che hanno un termine comune. La regola indica quanto segue:
- Il quadrato del termine comune.
- Inoltre aggiungi i termini che non sono comuni e poi moltiplicali per il termine comune.
- Più la somma della moltiplicazione di termini che non sono comuni.
È rappresentato nella formula: (x + a) * (x + b) ed è sviluppato come mostrato nell'immagine. Il risultato è un trinomio quadrato non perfetto.
(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.
Esiste la possibilità che il secondo termine (il diverso termine) sia negativo e la sua formula sia la seguente: (x + a) * (x - b).
Esempio 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + 14x - 8.
Può anche accadere che entrambi i termini siano negativi. La sua formula sarà: (x - a) * (x - b).
Esempio 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 - 33b + 30.
Polinomio quadrato
In questo caso ci sono più di due termini e per svilupparlo, ognuno è quadrato e sommato insieme al doppio della moltiplicazione di un termine con un altro; la sua formula è: (a + b + c) 2 e il risultato dell'operazione è un trinomiale quadrato.
Esempio 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x2 + 4y2 + 16z2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Binomiale al cubo
È un prodotto notevole notevole. Per svilupparlo, moltiplica il binomio per il suo quadrato, nel modo seguente:
a. Per il binomio al cubo di una somma:
- Il cubo del primo termine, più il triplo del quadrato del primo termine del secondo.
- Più la tripla del primo termine, entro il secondo quadrato.
- Più il cubo del secondo mandato.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a2 + 2ab + b2)
(a + b) 3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3
(a + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Esempio 1
(a + 3) 3 = a3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a3 + 9 a2 + 27a + 27.
b. Per il binomio al cubo di una sottrazione:
- Il cubo del primo termine, meno il triplo del quadrato del primo termine del secondo.
- Più la tripla del primo termine, entro il secondo quadrato.
- Meno il cubo del secondo termine.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a2 - 2ab + b2)
(a - b) 3 = a3 - 2a2b + ab2 - ba2 + 2ab2 - b3
(a - b) 3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.
Esempio 2
(b - 5) 3 = b3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b3 - 15b2 + 75b - 125.
Secchio di trinomio
Si sviluppa moltiplicandolo per il suo quadrato. È un prodotto notevole molto esteso perché ci sono 3 termini innalzati al cubo, più tre volte ogni termine quadrato, moltiplicato per ciascuno dei termini, più sei volte il prodotto dei tre termini. Visto in un modo migliore:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc.
Esempio 1
Esercizi risolti di prodotti notevoli
Esercizio 1
Sviluppa il seguente binomio nel cubo: (4x - 6) 3.
soluzione
Ricordando che un binomio del cubo è uguale al primo termine elevato al cubo, meno il triplo del quadrato del primo termine del secondo; più la tripla del primo termine, dal secondo al quadrato, meno il cubo del secondo termine.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x3 - 3 (16x2) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x3 - 288x2 + 432x - 36.
Esercizio 2
Sviluppa il seguente binomio: (x + 3) (x + 8).
soluzione
Esiste un binomio in cui esiste un termine comune, che è x e il secondo termine è positivo. Per svilupparlo basta quadrare il termine comune, più la somma dei termini che non sono comuni (3 e 8) e quindi moltiplicarli per il termine comune, più la somma della moltiplicazione di termini che non sono comuni.
(x + 3) (x + 8) = x2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x2 + 11x + 24.