Triangolo equilatero: caratteristiche, proprietà, formule e area
Un triangolo equilatero è un poligono con tre lati, dove tutti sono uguali; cioè, hanno la stessa misura. Per quella caratteristica è stato dato il nome di equilatero (lati uguali).
I triangoli sono poligoni considerati i più semplici in geometria, perché sono formati da tre lati, tre angoli e tre vertici. Nel caso del triangolo equilatero, poiché ha lati uguali, implica che anche i suoi tre angoli saranno uguali.
Caratteristiche dei triangoli equilateri
Lati uguali
I triangoli equilateri sono figure piatte e chiuse, composte da tre segmenti di linee rette. I triangoli sono classificati in base alle loro caratteristiche, in relazione ai loro lati e angoli; l'equilatero è stato classificato usando come parametro la misura dei suoi lati, poiché questi sono esattamente gli stessi, cioè sono congruenti.
Il triangolo equilatero è un caso particolare del triangolo isoscele perché due dei suoi lati sono congruenti. Questo è il motivo per cui tutti i triangoli equilateri sono anche isosceli, ma non tutti i triangoli isosceli saranno equilateri.
In questo modo i triangoli equilateri hanno le stesse proprietà di un triangolo isoscele.
I triangoli equilateri possono anche essere classificati per l'ampiezza dei loro angoli interni come un triangolo angiale equilatero, che ha tre lati e tre angoli interni con la stessa misura. Gli angoli saranno acuti, cioè saranno meno di 90 °.
componenti
I triangoli in generale hanno diverse linee e punti che lo compongono. Sono usati per calcolare l'area, i lati, gli angoli, la mediana, la bisettrice, la perpendicolare e l'altezza.
- La mediana : è una linea che parte dal punto medio di un lato e raggiunge il vertice opposto. Le tre mediane si incontrano in un punto chiamato centroide o centroide.
- La bisettrice : è un raggio che divide l'angolo dei vertici in due angoli di uguale dimensione, quindi è noto come asse di simmetria. Il triangolo equilatero ha tre assi di simmetria.
Nel triangolo equilatero la bisettrice viene disegnata dal vertice di un angolo al suo lato opposto, tagliandola nel suo punto medio. Questi concordano nel punto chiamato incentro.
- La bisettrice perpendicolare è un segmento perpendicolare al lato del triangolo che ha origine nel mezzo di questo. Ci sono tre mediatices in un triangolo e concordano in un punto chiamato circuncentro.
- L'altezza : è la linea che va dal vertice al lato opposto e anche questa linea è perpendicolare a quel lato. Tutti i triangoli hanno tre altezze che coincidono in un punto chiamato ortocentro.
proprietà
La proprietà principale dei triangoli equilateri è che saranno sempre triangoli isosceli, poiché le isoscele sono formate da due lati congruenti e da quelli equilateri da tre.
In questo modo, i triangoli equilateri hanno ereditato tutte le proprietà del triangolo isoscele:
Angoli interni
La somma degli angoli interni è sempre uguale a 180 °, e poiché tutti i suoi angoli sono congruenti, ciascuno di essi misurerà 60o.
Angoli esterni
La somma degli angoli esterni sarà sempre uguale a 360o, quindi ogni angolo esterno misurerà 120o. Questo perché gli angoli interni ed esterni sono supplementari, cioè aggiungendoli sarà sempre uguale a 180 °.
Somma dei lati
La somma delle misure di due lati deve essere sempre maggiore della misura del terzo lato, cioè a + b> c, dove a, bec sono le misure di ciascun lato.
Lati congruenti
I triangoli equilateri hanno i loro tre lati con la stessa misura o lunghezza; cioè, sono congruenti. Pertanto, nell'elemento precedente abbiamo a = b = c.
Angoli congruenti
I triangoli equilateri sono anche noti come triangoli equiangoli, perché i loro tre angoli interni sono congruenti tra loro. Questo perché anche tutti i suoi lati hanno la stessa misura.
La bisettrice, la mediana e la mediatrice sono coincidenti
La bisettrice divide il lato di un triangolo in due parti. Nei triangoli equilateri quel lato sarà diviso in due parti esattamente uguali, cioè il triangolo sarà diviso in due triangoli rettangoli congruenti.
Pertanto, la bisettrice ricavata da qualsiasi angolo di un triangolo equilatero coincide con la mediana e la bisettrice del lato opposto a tale angolo.
esempio:
La figura seguente mostra il triangolo ABC con un punto medio D che divide uno dei suoi lati in due segmenti AD e BD.
Quando si disegna una linea dal punto D al vertice opposto, per definizione si ottiene il CD mediano, che è relativo al vertice C e al lato AB.
Poiché il segmento CD divide il triangolo ABC in due triangoli uguali a CDB e CDA, significa che avremo il caso di congruenza: lato, angolo, lato e quindi il CD sarà anche la bisettrice di BCD.
Quando il segmento CD viene disegnato, l'angolo del vertice è diviso in due angoli uguali di 30 °, l'angolo del vertice A continua a misurare 60o e la linea CD forma un angolo di 90 ° rispetto al punto medio D.
Il segmento CD forma angoli che hanno la stessa misura per i triangoli ADC e BDC, cioè, sono complementari in modo tale che la misurazione di ciascuno sarà:
Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180o
2 * Med. (ADC) = 180 °
Med. (ADC) = 180 ° ÷ 2
Med. (ADC) = 90 °.
E così, abbiamo che il segmento CD è anche la bisettrice del lato AB.
La bisettrice e l'altezza sono coincidenti
Quando si disegna la bisettrice dal vertice di un angolo al punto medio del lato opposto, divide il triangolo equilatero in due triangoli congruenti.
In tal modo si forma un angolo di 90 ° (dritto). Questo indica che questo segmento di linea è totalmente perpendicolare a quel lato, e per definizione quella linea sarebbe l'altezza.
In questo modo, la bisettrice di qualsiasi angolo di un triangolo equilatero coincide con l'altezza relativa sul lato opposto di tale angolo.
Ortocentro, baricentro, incentratore e circoncenter coincidono
Poiché l'altezza, la mediana, la bisettrice e la bisettrice sono rappresentate allo stesso tempo dallo stesso segmento, in un triangolo equilatero i punti di incontro di questi segmenti - l'ortocentro, il baricentro, l'incentratore e il circoncenterico - saranno nello stesso punto:
Come calcolare il perimetro?
Il perimetro di un poligono è calcolato dalla somma dei lati. Poiché in questo caso il triangolo equilatero ha tutti i suoi lati con la stessa misura, il suo perimetro è calcolato con la seguente formula:
P = 3 * lato.
Come calcolare l'altezza?
Poiché l'altezza è la linea perpendicolare alla base, la divide in due parti uguali estendendosi al vertice opposto. Quindi si formano due triangoli uguali a destra.
L'altezza (h) rappresenta il lato opposto (a), metà del lato AC del lato adiacente (b) e il lato BC rappresenta l'ipotenusa (c).
Usando il teorema di Pitagora, puoi determinare il valore dell'altezza:
a 2 + b 2 = c 2
dove:
a2 = altezza (h).
b2 = lato b / 2.
c2 = lato a.
Sostituendo questi valori nel teorema di Pitagora e cancellando l'altezza che abbiamo:
h 2 + ( l / 2) 2 = l 2
h 2 + l 2/4 = l 2
h 2 = l 2 - l 2/4
h 2 = (4 * l 2 - l 2) / 4
h 2 = 3 * l 2/4
√ h 2 = √ (3 * l 2/4)
Se l'angolo formato dai lati congruenti è noto, l'altezza (rappresentata da una gamba) può essere calcolata applicando i rapporti trigonometrici.
Le gambe sono chiamate opposte o adiacenti a seconda dell'angolo preso come riferimento.
Ad esempio, nella figura precedente il cateto h sarà opposto per l'angolo C, ma adiacente all'angolo B:
Pertanto, l'altezza può essere calcolata con:
Come calcolare i lati?
Ci sono casi in cui le misure dei lati del triangolo non sono note, ma la loro altezza e gli angoli che si formano nei vertici.
Per determinare l'area in questi casi è necessario applicare i rapporti trigonometrici.
Conoscendo l'angolo di uno dei suoi vertici, le gambe vengono identificate e viene utilizzato il rapporto trigonometrico corrispondente:
Quindi, la gamba AB, sarà opposta per l'angolo C, ma adiacente all'angolo A. A seconda del lato o della gamba corrispondente all'altezza, l'altro lato viene cancellato per ottenere il valore di questo, sapendo che in un triangolo equilatero i tre i lati avranno sempre la stessa misura.
Come calcolare l'area?
L'area dei triangoli viene sempre calcolata con la stessa formula, moltiplicando la base per l'altezza e dividendo per due:
Area = (b * h) ÷ 2
Sapendo che l'altezza è data dalla formula:
formazione
Primo esercizio
I lati di un triangolo equilatero ABC misurano 20 cm ciascuno. Calcola l'altezza e l'area di quel poligono.
soluzione
Per determinare l'area di quel triangolo equilatero è necessario calcolare l'altezza, sapendo che quando lo si disegna, divide il triangolo in due triangoli uguali a destra.
In questo modo il teorema di Pitagora può essere usato per trovarlo:
a 2 + b 2 = c 2
dove:
a = 20/2 = 10 cm.
b = altezza
c = 20 cm
I dati nel teorema sono sostituiti:
102 + b 2 = 202
100 cm + b 2 = 400 cm
b 2 = (400 - 100) cm
b 2 = 300 cm
b = √300 cm
b = 17, 32 cm.
Cioè, l'altezza del triangolo è pari a 17, 32 cm. Ora è possibile calcolare l'area del triangolo dato sostituendo nella formula:
Area = (b * h) ÷ 2
Area = (20 cm * 17, 32 cm) ÷ 2
Area = 346, 40 cm2 ÷ 2
Area = 173, 20 cm2.
Un altro modo più semplice per risolvere l'esercizio è sostituire i dati nella formula diretta dell'area, dove viene anche implicitamente trovato il valore dell'altezza:
Secondo esercizio
In una terra che ha una forma triangolare equilatera, i fiori saranno piantati. Se il perimetro di quel terreno è uguale a 450 m, calcola il numero di metri quadri occupati dai fiori.
soluzione
Sapendo che il perimetro di un triangolo corrisponde alla somma dei suoi tre lati e poiché il terreno ha la forma di un triangolo equilatero, i tre lati di questo triangolo avranno la stessa misura o lunghezza:
P = lato + lato + lato = 3 * l
3 * l = 450 m.
l = 450 m ÷ 3
l = 150 m.
Ora è solo necessario calcolare l'altezza di quel triangolo.
L'altezza divide il triangolo in due triangoli rettangoli congruenti, dove una delle gambe rappresenta l'altezza e l'altra metà della base. Secondo il teorema di Pitagora, l'altezza può essere determinata:
a 2 + b 2 = c 2
dove:
a = 150 m ÷ 2 = 75 m.
c = 150 m.
b = altezza
I dati nel teorema sono sostituiti:
(75 m) 2 + b 2 = (150 m) 2
5, 625 m + b 2 = 22, 500 m
b 2 = 22.500 m - 5.625 m
b 2 = 16.875 m
b = √ 16.875 m
b = 129, 90 m.
Quindi l'area che occuperà i fiori sarà:
Area = b * h ÷ 2
Area = (150 m * 129, 9 m) ÷ 2
Area = (19.485 m2) ÷ 2
Area = 9.742, 5 m2
Terzo esercizio
Il triangolo equilatero ABC è diviso da un segmento di linea che va dal suo vertice C al punto medio D, situato sul lato opposto (AB). Questo segmento misura 62 metri. Calcola l'area e il perimetro di quel triangolo equilatero.
soluzione
Sapendo che il triangolo equilatero è diviso da un segmento di linea che corrisponde all'altezza, formando due triangoli rettangoli congruenti, questo a sua volta divide anche l'angolo del vertice C in due angoli con la stessa misura, 30o ciascuno.
L'altezza forma un angolo di 90 ° rispetto al segmento AB, e l'angolo del vertice A misurerà quindi 60 °.
Quindi usando l'angolo di 30 ° come riferimento, il CD dell'altezza viene impostato come una gamba adiacente all'angolo e BC come ipotenusa.
Da questi dati è possibile determinare il valore di uno dei lati del triangolo, utilizzando i rapporti trigonometrici:
Come nel triangolo equilatero tutti i lati hanno esattamente la stessa misura o lunghezza, significa che ogni lato del triangolo equilatero ABC è pari a 71, 6 metri. Sapendo questo, è possibile determinare la tua area:
Area = b * h ÷ 2
Area = (71, 6 m * 62 m) ÷ 2
Area = 4.438, 6 m2 ÷ 2
Area = 2.219, 3 m2
Il perimetro è dato dalla somma dei suoi tre lati:
P = lato + lato + lato = 3 * l
P = 3 * l
P = 3 * 71, 6 m
P = 214, 8 m.
