Triangolo isoscele: caratteristiche, formula e area, calcolo

Un triangolo isoscele è un poligono con tre lati, in cui due hanno la stessa misura e il terzo lato una misura diversa. Quest'ultimo lato è chiamato base. A causa di questa caratteristica è stato dato questo nome, che in greco significa "gambe uguali"

I triangoli sono poligoni considerati la più semplice in geometria, perché sono formati da tre lati, tre angoli e tre vertici. Sono quelli che hanno il minor numero di lati e angoli rispetto agli altri poligoni, tuttavia il loro uso è molto ampio.

Caratteristiche dei triangoli isosceli

Il triangolo isoscele è stato classificato usando la misura dei suoi lati come parametro, poiché due dei suoi lati sono congruenti (hanno la stessa lunghezza).

In base all'ampiezza degli angoli interni, i triangoli isosceli sono classificati come:

  • Triangolo isoscele rettangolare : due dei suoi lati sono uguali. Uno dei suoi angoli è dritto (90o) e gli altri sono uguali (45o ciascuno)
  • Triangolo obscule isoscele : due dei suoi lati sono uguali. Uno dei suoi angoli è ottuso (> 90 °).
  • Triangolo acuto isoscele : due dei suoi lati sono uguali. Tutti gli angoli sono acuti (<90 °), dove due hanno la stessa misura.

componenti

  • La mediana : è una linea che parte dal punto medio di un lato e raggiunge il vertice opposto. Le tre mediane si incontrano in un punto chiamato centroide o centroide.
  • La bisettrice : è un raggio che divide l'angolo di ogni vertice in due angoli di uguale dimensione. Questo è il motivo per cui è noto come l'asse di simmetria e questo tipo di triangoli ne ha solo uno.
  • La bisettrice perpendicolare : è un segmento perpendicolare al lato del triangolo, che ha origine nel mezzo di questo. Ci sono tre mediatices in un triangolo e concorrono in un punto chiamato circumcenter.
  • L'altezza : è la linea che va dal vertice al lato opposto e anche questa linea è perpendicolare a quel lato. Tutti i triangoli hanno tre altezze, che coincidono in un punto chiamato ortocentro.

proprietà

I triangoli isosceli sono definiti o identificati perché hanno diverse proprietà che li rappresentano, originati dai teoremi proposti dai grandi matematici:

Angoli interni

La somma degli angoli interni è sempre uguale a 180 °.

Somma dei lati

La somma delle misure di due lati deve essere sempre maggiore della misura del terzo lato, a + b> c.

Lati congruenti

I triangoli isosceli hanno due lati con la stessa misura o lunghezza; cioè, sono congruenti e il terzo lato è diverso da questi.

Angoli congruenti

I triangoli isosceli sono noti anche come triangoli iso-angolari, perché hanno due angoli che hanno la stessa misura (congruenti). Questi si trovano alla base del triangolo, opposti ai lati che hanno la stessa lunghezza.

Per questo motivo, il teorema che stabilisce che:

"Se un triangolo ha due lati congruenti, anche gli angoli opposti a quelli laterali saranno congruenti." Pertanto, se un triangolo è isoscele, gli angoli delle sue basi sono congruenti.

esempio:

La seguente figura mostra un triangolo ABC. Tracciando la sua bisettrice dal vertice dell'angolo B alla base, il triangolo è diviso in due triangoli uguali BDA e BDC:

Pertanto, l'angolo del vertice B era anche diviso in due angoli uguali. La bisettrice è ora il lato (BD) comune tra quei due nuovi triangoli, mentre i lati AB e BC sono i lati congruenti. Questo è il caso del lato congruenza, angolo, lato (LAL).

Ciò mostra che gli angoli dei vertici A e C hanno la stessa misura, così come si può anche dimostrare che poiché i triangoli BDA e BDC sono congruenti, anche i lati AD e DC sono congruenti.

Altezza, mediana, bisettrice e bisettrice sono coincidenti

La linea che viene disegnata dal vertice opposto alla base al punto medio della base del triangolo isoscele, è allo stesso tempo l'altezza, la mediana e la bisettrice, così come la bisettrice relativa all'angolo opposto della base.

Tutti questi segmenti coincidono in uno che li rappresenta.

esempio:

La figura seguente mostra il triangolo ABC con un punto medio M che divide la base in due segmenti BM e CM.

Quando si disegna un segmento dal punto M al vertice opposto, per definizione si ottiene la mediana AM, che è relativa al vertice A e al lato BC.

Dato che il segmento AM divide il triangolo ABC in due triangoli uguali AMB e AMC, significa che sarà presente il caso di congruenza laterale, angolare, laterale e quindi AM sarà anche la bisettrice di BC.

Ecco perché la bisettrice sarà sempre uguale alla mediana e viceversa.

Il segmento AM forma angoli che hanno la stessa misura per i triangoli AMB e AMC; cioè, sono supplementari in modo tale che la misura di ciascuno sarà:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180 °

2 * Med. (AMC) = 180 °

Med. (AMC) = 180 ° ÷ 2

Med. (AMC) = 90 °

Si può sapere che gli angoli formati dal segmento AM rispetto alla base del triangolo sono diritti, il che indica che questo segmento è totalmente perpendicolare alla base.

Pertanto, rappresenta l'altezza e la bisettrice, sapendo che M è il punto medio.

Pertanto la linea retta AM:

  • Rappresenta l'altezza di BC.
  • È medio
  • È contenuto nella mediatrice di BC.
  • È la bisettrice dell'angolo di vertice

Altezze relative

Le altezze che sono relative ai lati uguali, hanno anche la stessa misura.

Poiché il triangolo isoscele ha due lati uguali, anche le loro due rispettive altezze saranno uguali.

Ortocentro, baricentro, incentratore e circoncenter coincidono

Poiché l'altezza, la mediana, la bisettrice e la bisettrice rispetto alla base, sono rappresentate allo stesso tempo dallo stesso segmento, l'ortocentro, l'incentratore centrocentrico e il circumcentro saranno punti collineari, cioè saranno sulla stessa linea:

Come calcolare il perimetro?

Il perimetro di un poligono è calcolato dalla somma dei lati.

Come in questo caso il triangolo isoscele ha due lati con la stessa misura, il suo perimetro è calcolato con la seguente formula:

P = 2 * (lato a) + (lato b).

Come calcolare l'altezza?

L'altezza è la linea perpendicolare alla base, divide il triangolo in due parti uguali estendendosi al vertice opposto.

L'altezza rappresenta la gamba opposta (a), metà della base (b / 2) alla gamba adiacente e il lato "a" rappresenta l'ipotenusa.

Usando il teorema di Pitagora, puoi determinare il valore dell'altezza:

a2 + b 2 = c 2

dove:

a 2 = altezza (h).

b 2 = b / 2.

c 2 = lato a.

Sostituendo questi valori nel teorema di Pitagora e cancellando l'altezza che abbiamo:

h 2 + ( b / 2) 2 = a 2

h 2 + b 2/4 = a 2

h 2 = a 2 - b 2/4

h = √ ( a 2 - b 2/4).

Se l'angolo formato dai lati congruenti è noto, l'altezza può essere calcolata con la seguente formula:

Come calcolare l'area?

L'area dei triangoli viene sempre calcolata con la stessa formula, moltiplicando la base per l'altezza e dividendo per due:

Ci sono casi in cui sono note solo le misure di due lati del triangolo e l'angolo formato tra di loro. In questo caso, per determinare l'area è necessario applicare i rapporti trigonometrici:

Come calcolare la base del triangolo?

Poiché il triangolo isoscele ha due lati uguali, per determinare il valore della sua base è necessario conoscere almeno la misura dell'altezza o uno dei suoi angoli.

Conoscendo l'altezza viene usato il teorema di Pitagora:

a2 + b2 = c2

dove:

a2 = altezza (h).

c2 = lato a.

b2 = b / 2, è sconosciuto.

Cancelliamo il b2 della formula e dobbiamo:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Poiché questo valore corrisponde a metà della base, deve essere moltiplicato per due per ottenere la misura completa della base del triangolo isoscele:

b = 2 * (√ a2 - c2)

Nel caso in cui siano noti solo il valore dei lati uguali e l'angolo tra di essi, viene applicata la trigonometria, tracciando una linea dal vertice alla base che divide il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli.

In questo modo, la metà della base viene calcolata con:

È anche possibile che sia noto solo il valore dell'altezza e dell'angolo del vertice opposto alla base. In questo caso per trigonometria si può determinare la base:

formazione

Primo esercizio

Trova l'area del triangolo isoscele ABC, sapendo che due dei suoi lati misurano 10 cm e il terzo lato misura 12 cm.

soluzione

Per trovare l'area del triangolo è necessario calcolare l'altezza usando la formula dell'area che è correlata al teorema di Pitagora, poiché il valore dell'angolo formato tra i lati uguali non è noto.

Abbiamo i seguenti dati del triangolo isoscele:

  • Lati uguali (a) = 10 cm.
  • Base (b) = 12 cm.

I valori nella formula sono sostituiti:

Secondo esercizio

La lunghezza dei due lati uguali di un triangolo isoscele misura 42 cm, l'unione di questi lati forma un angolo di 130 °. Determina il valore del terzo lato, l'area di quel triangolo e il perimetro.

soluzione

In questo caso, sono note le misure dei lati e l'angolo tra di esse.

Per conoscere il valore del lato mancante, cioè la base di quel triangolo, disegniamo una linea perpendicolare ad esso, dividendo l'angolo in due parti uguali, una per ciascun triangolo rettangolo che si forma.

  • Lati uguali (a) = 42 cm.
  • Angolo (Ɵ) = 130 °

Ora per trigonometria viene calcolato il valore della metà della base, che corrisponde alla metà dell'ipotenusa:

Per calcolare l'area è necessario conoscere l'altezza di quel triangolo che può essere calcolato dalla trigonometria o dal teorema di Pitagora, ora che il valore della base è già stato determinato.

Per trigonometria sarà:

Il perimetro è calcolato:

P = 2 * (lato a) + (lato b).

P = 2 * (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Terzo esercizio

Calcola gli angoli interni del triangolo isoscele, sapendo che l'angolo della base è Â = 55 °

soluzione

Per trovare i due angoli mancanti (Ê e Ô) è necessario ricordare due proprietà dei triangoli:

  • La somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo sarà sempre = 180 °:

 + Ê + Ô = 180 o

  • In un triangolo isoscele, gli angoli della base sono sempre congruenti, cioè hanno la stessa misura, quindi:

 = Ô

Ê = 55 °

Per determinare il valore dell'angolo Ê, sostituire i valori degli altri angoli nella prima regola e deselezionare Ê:

55o + 55o + Ô = 180 o

110 o + Ô = 180 o

Ô = 180 o - 110 o

Ô = 70 o.