Trasformazione di Laplace: definizione, cronologia, a cosa serve, proprietà

La trasformazione di Laplace è stata negli ultimi anni di grande importanza negli studi di ingegneria, matematica, fisica, tra le altre aree scientifiche, poiché oltre ad essere di grande interesse per la teoria, fornisce un modo semplice per risolvere i problemi che derivano da le scienze e l'ingegneria.

Originariamente la trasformata di Laplace fu presentata da Pierre-Simon Laplace nel suo studio della teoria della probabilità e inizialmente fu trattata come un oggetto matematico di interesse puramente teorico.

Le attuali applicazioni sorgono quando vari matematici hanno cercato di dare una giustificazione formale alle "regole operative" utilizzate da Heaviside nello studio delle equazioni della teoria elettromagnetica.

definizione

Sia f una funzione definita per t ≥ 0. La trasformata di Laplace è definita come segue:

Si dice che la Trasformazione di Laplace esiste se l'integrale precedente converge, altrimenti si dice che la trasformazione di Laplace non esiste.

In generale, per indicare la funzione che si desidera trasformare, vengono utilizzate lettere minuscole e la lettera maiuscola corrisponde alla sua trasformazione. In questo modo avremo:

Esempi

Considera la funzione costante f (t) = 1. Abbiamo che la sua trasformazione è:

Ogni volta che l'integrale converge, viene sempre fornito che s> 0. Altrimenti, s <0, l'integrale diverge.

Sia g (t) = t. La tua trasformazione di Laplace è data da

Quando si integrano per parti e sapendo che te-st tende a 0 quando t tende all'infinito e s> 0, insieme all'esempio precedente abbiamo che:

La trasformazione può o non può esistere, per esempio per la funzione f (t) = 1 / t l'integrale che definisce la sua trasformazione di Laplace non converge e quindi la sua trasformazione non esiste.

Le condizioni sufficienti per garantire che la trasformata di Laplace di una funzione f esista, è che f è continua in parti per t ≥ 0 ed è di ordine esponenziale.

Si dice che una funzione è continua da parti per t ≥ 0, quando per qualsiasi intervallo [a, b] con a> 0, c'è un numero finito di punti t _k, dove f ha discontinuità ed è continuo in ogni sottointervallo [t _k-1, t _k ].

D'altra parte, si dice che una funzione è di ordine esponenziale c se ci sono costanti reali M> 0, c e T> 0 tali che:

Come esempi abbiamo che f (t) = t2 è di ordine esponenziale, dato che | t2 | <e3t per tutto t> 0.

In modo formale abbiamo il seguente teorema

Teorema (condizioni sufficienti per l'esistenza)

Se f è una funzione continua per parte per t> 0 e di ordine esponenziale c, allora c'è la trasformata di Laplace per s> c.

È importante sottolineare che questa è una condizione di sufficienza, cioè potrebbe essere il caso che esista una funzione che non soddisfa queste condizioni e anche allora esiste la sua trasformata di Laplace.

Un esempio di ciò è la funzione f (t) = t-1/2 che non è continua in parti per t ≥ 0 ma esiste la sua trasformata di Laplace.

Trasformata di Laplace di alcune funzioni di base

La seguente tabella mostra le trasformate di Laplace delle funzioni più comuni.

storia

La trasformata di Laplace deve il suo nome a Pierre-Simon Laplace, matematico e astronomo teorico francese nato nel 1749 e morto nel 1827. La sua fama era tale che era conosciuto come Newton di Francia.

Nel 1744 Leonard Euler dedicò i suoi studi agli integrali con la forma

come soluzioni di equazioni differenziali ordinarie, ma rapidamente abbandonato questa indagine. Successivamente, Joseph Louis Lagrange, che ammirò molto Eulero, indagò anche su questo tipo di integrali e li correlò alla teoria della probabilità.

1782, Laplace

Nel 1782 Laplace iniziò a studiare questi integrali come soluzioni alle equazioni differenziali e, secondo gli storici, nel 1785 decise di riformulare il problema, che in seguito diede origine alle trasformazioni di Laplace così come sono intese oggi.

Essendo stato introdotto nel campo della teoria della probabilità, era di scarso interesse per gli scienziati del tempo e fu visto solo come un oggetto matematico di interesse teorico.

Oliver Heaviside

Fu a metà del diciannovesimo secolo quando l'ingegnere inglese Oliver Heaviside scoprì che gli operatori differenziali possono essere trattati come variabili algebriche, dando così la loro moderna applicazione alle trasformate di Laplace.

Oliver Heaviside era un fisico inglese, ingegnere elettrotecnico e matematico nato a Londra nel 1850 e morto nel 1925. Mentre cercava di risolvere problemi di equazioni differenziali applicate alla teoria delle vibrazioni e utilizzando gli studi di Laplace, iniziò a modellare applicazioni moderne delle trasformate di Laplace.

I risultati esibiti da Heaviside si diffusero rapidamente in tutta la comunità scientifica dell'epoca, ma poiché il suo lavoro non rigoroso fu rapidamente criticato dai matematici più tradizionali.

Tuttavia, l'utilità del lavoro di Heaviside nel risolvere le equazioni fisiche ha reso popolari i suoi metodi tra fisici e ingegneri.

Nonostante queste battute d'arresto e dopo alcuni decenni di tentativi falliti, all'inizio del XX secolo si potrebbe dare una rigorosa giustificazione alle regole operative fornite da Heaviside.

Questi tentativi sono stati ripagati grazie agli sforzi di diversi matematici come Bromwich, Carson, van der Pol, tra gli altri.

proprietà

Tra le proprietà della trasformata di Laplace, spiccano le seguenti:

linearità

Sia c1 e c2 siano le costanti e le funzioni f (t) e g (t) le cui trasformazioni di Laplace sono F (s) e G (s) rispettivamente, quindi dobbiamo:

A causa di questa proprietà si dice che la trasformata di Laplace sia un operatore lineare.

esempio

Primo teorema di traduzione

Se succede che:

E 'un' è un numero reale, quindi:

esempio

Come la trasformata di Laplace di cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4), allora:

Secondo teorema di traduzione

poi

esempio

Se f (t) = t ^ 3, allora F (s) = 6 / s ^ 4. E quindi, la trasformazione di

è G (s) = 6e-2s / s ^ 4

Cambio di scala

E 'un' è un non zero reale, dobbiamo

esempio

Poiché la trasformazione di f (t) = sin (t) è F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) deve essere

ransformazione di Laplace di derivati

Se f, f ', f' ', ..., f (n) sono continui per t ≥ 0 e sono di ordine esponenziale e f (n) (t) è continuo in parti per t ≥ 0, quindi

Trasformata di Laplace di integrali

poi

Moltiplicazione di tn

Se dobbiamo

poi

Divisione per t

Se dobbiamo

poi

Funzioni periodiche

Sia f una funzione periodica con periodo T> 0, cioè f (t + T) = f (t), quindi

Comportamento di F (s) quando s tende all'infinito

Se f è continuo in parti e di ordine esponenziale e

poi

Trasformazioni inverse

Quando applichiamo la trasformata di Laplace a una funzione f (t) otteniamo F (s), che rappresenta quella trasformazione. Allo stesso modo possiamo dire che f (t) è la trasformata inversa di Laplace di F (s) ed è scritta come

Sappiamo che le trasformate di Laplace di f (t) = 1 e g (t) = t sono F (s) = 1 / se G (s) = 1 / s2 rispettivamente, quindi dobbiamo

Alcune trasformate inverse comuni di Laplace sono le seguenti

Inoltre, la trasformata inversa di Laplace è lineare, cioè è soddisfatta

esercizio

trovare

Per risolvere questo esercizio dobbiamo abbinare la funzione F (s) con una delle tabelle precedenti. In questo caso se prendiamo un + 1 = 5 e usiamo la proprietà linearità della trasformazione inversa, moltiplichiamo e dividiamo per 4! ottenere

Per la seconda trasformazione inversa applichiamo le frazioni parziali per riscrivere la funzione F (s) e quindi la proprietà della linearità, ottenendo

Come possiamo vedere da questi esempi, è comune che la funzione F (s) valutata non sia esattamente in accordo con una qualsiasi delle funzioni indicate nella tabella. Per questi casi, come si osserva, è sufficiente riscrivere la funzione fino a raggiungere la forma appropriata.

Applicazioni della trasformata di Laplace

Equazioni differenziali

L'applicazione principale delle trasformate di Laplace è la risoluzione di equazioni differenziali.

Usando la proprietà della trasformazione di un derivato è chiaro che

E delle derivate n-1 valutate at = 0.

Questa proprietà rende la trasformazione molto utile per risolvere problemi di valore iniziale in cui sono coinvolte equazioni differenziali con coefficienti costanti.

I seguenti esempi mostrano come utilizzare la trasformata di Laplace per risolvere equazioni differenziali.

Esempio 1

Dato il seguente problema di valore iniziale

Usa la trasformata di Laplace per trovare la soluzione.

Applichiamo la trasformata di Laplace a ciascun membro dell'equazione differenziale

Per la proprietà della trasformazione di un derivato che abbiamo

Sviluppando tutta l'espressione e la compensazione E (s) siamo rimasti

Usando le frazioni parziali per riscrivere il lato destro dell'equazione che otteniamo

Infine, il nostro obiettivo è trovare una funzione y (t) che soddisfi l'equazione differenziale. L'uso della trasformazione inversa di Laplace ci dà il risultato

Esempio 2

risolvere

Come nel caso precedente, applichiamo la trasformazione su entrambi i lati dell'equazione e separatamente termine per termine.

In questo modo abbiamo come risultato

Sostituendo con i valori iniziali specificati e cancellando Y (s)

Usando semplici frazioni possiamo riscrivere l'equazione come segue

E applicare la trasformazione inversa di Laplace ci dà come risultato

In questi esempi si potrebbe arrivare alla conclusione sbagliata che questo metodo non è molto meglio dei metodi tradizionali per risolvere equazioni differenziali.

I vantaggi offerti dalla trasformata di Laplace sono che non è necessario utilizzare la variazione dei parametri o preoccuparsi dei vari casi del metodo del coefficiente indeterminato.

Oltre a risolvere i problemi del valore iniziale con questo metodo, dall'inizio usiamo le condizioni iniziali, quindi non è necessario eseguire altri calcoli per trovare la soluzione specifica.

Sistemi di equazioni differenziali

La trasformata di Laplace può anche essere utilizzata per trovare soluzioni alle equazioni differenziali ordinarie simultanee, come mostra il seguente esempio.

esempio

risolvere

Con le condizioni iniziali x (0) = 8 ey (0) = 3.

Se dobbiamo

poi

Risolvendo risultati in noi

E quando applichiamo la trasformata inversa di Laplace che abbiamo

Meccanica e circuiti elettrici

La trasformata di Laplace è di grande importanza in fisica, principalmente con applicazioni per meccanica e circuiti elettrici.

Un semplice circuito elettrico è composto dai seguenti elementi

Un interruttore, una batteria o una fonte, un induttore, un resistore e un condensatore. Quando l'interruttore è chiuso viene prodotta una corrente elettrica che è indicata da i (t). La carica del condensatore è indicata da q (t).

Secondo la seconda legge di Kirchhoff, la tensione prodotta dalla sorgente E verso il circuito chiuso deve essere uguale alla somma di ciascuna caduta di tensione.

La corrente elettrica i (t) è correlata alla carica q (t) nel condensatore di i = dq / dt. D'altra parte, la caduta di tensione è definita in ciascuno degli elementi come segue:

La caduta di tensione in un resistore è iR = R (dq / dt)

La caduta di tensione in un induttore è L (di / dt) = L (d2q / dt2)

La caduta di tensione in un condensatore è q / C

Con questi dati e applicando la seconda legge di Kirchhoff al circuito semplice chiuso, si ottiene un'equazione differenziale del secondo ordine che descrive il sistema e ci consente di determinare il valore di q (t).

esempio

Un induttore, un condensatore e un resistore sono collegati a una batteria E, come mostrato nella figura. L'induttore è di 2 henries, il condensatore di 0.02 farad e la resistenza di 16 onhm. All'istante t = 0 il circuito è chiuso. Trova il carico e la corrente in qualsiasi momento t> 0 se E = 300 volt.