Funzione biettiva: in cosa consiste, come è fatta, esempi ed esercizi

Una funzione biettiva è quella che soddisfa la doppia condizione di essere iniettiva e suriettiva . Cioè, tutti gli elementi del dominio hanno una singola immagine nel codominio, e a sua volta il codominio è uguale all'intervallo della funzione ( R _f ).

È soddisfatto quando si considera una relazione uno-a-uno tra gli elementi del dominio e del codominio. Un semplice esempio è la funzione F: R → R definita dalla riga F (x) = x

Si osserva che per ogni valore del dominio o insieme di partenza (entrambi i termini si applicano allo stesso modo) abbiamo una singola immagine nel set di codominio o di arrivo. Inoltre, non esiste alcun elemento del codominio che non sia un'immagine.

In questo modo F: R → R definito dalla linea F (x) = x è biettivo

Come viene realizzata una funzione biettiva?

Per rispondere a questo, è necessario essere chiari sui concetti relativi a Iniettività e Superiettività di una funzione, così come i criteri per condizionare le funzioni per adattarle ai requisiti.

Iniettività di una funzione

Una funzione è iniettiva quando ciascuno degli elementi del suo dominio è correlato a un singolo elemento del codominio. Un elemento del codominio può essere solo l'immagine di un singolo elemento del dominio, in questo modo i valori della variabile dipendente non possono essere ripetuti.

Per considerare una funzione come iniettiva, deve essere soddisfatto quanto segue:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Sovra-attività di una funzione

Una funzione è classificata come suriettiva, se ogni elemento del suo codominio è l'immagine di almeno un elemento del dominio.

Per considerare un progetto come coperto, è necessario soddisfare quanto segue:

Sia F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Questo è il modo algebrico per stabilire che per tutti "b" che appartiene a C _f esiste un "a" che appartiene a D _f tale che, la funzione valutata in "a" sia uguale a "b".

Condizionamento di funzioni

A volte una funzione che non è biettiva, può essere soggetta a determinate condizioni. Queste nuove condizioni possono trasformarlo in una funzione biettiva. Sono validi tutti i tipi di modifiche al dominio e al codice della funzione, in cui l'obiettivo è quello di conformarsi alle proprietà di iniettività e sovra-attività nella relazione corrispondente.

Esempi: esercizi risolti

Esercizio 1

Lascia che la funzione F: R → R sia definita dalla linea F (x) = 5x +1

A: [Tutti i numeri reali]

Si osserva che per ogni valore del dominio c'è un'immagine nel codominio. Questa immagine è unica e rende F una funzione iniettiva . Allo stesso modo osserviamo che il codominio della funzione è uguale al suo rango. In questo modo soddisfa la condizione di sovra-attività.

Essere iniettivi e suriettivi allo stesso tempo possiamo concludere questo

F: R → R definito dalla linea F (x) = 5x +1 è una funzione biiettiva.

Questo vale per tutte le funzioni lineari (funzioni il cui grado più alto della variabile è uno).

Esercizio 2

Lascia che la funzione F: R → R sia definita da F (x) = 3x2 - 2

Quando si disegna una linea orizzontale, si osserva che il grafico si trova in più di un'occasione. Per questo motivo, la funzione F non è iniettiva e pertanto non sarà bidirezionale purché sia definita in R → R

Allo stesso modo ci sono valori del codominio che non sono immagini di alcun elemento del dominio. A causa di ciò, la funzione non è suriettiva, il che merita di condizionare anche il set di arrivo.

Procediamo a condizionare il dominio e il codominio della funzione

F: [0, ∞] → [- 2, ∞ ]

Dove si osserva che il nuovo dominio copre i valori da zero a infinito positivo. Evitare la ripetizione di valori che influenzano l'iniettività.

Così anche il codominio è stato modificato, contando da "-2" all'infinito positivo, eliminando dal codominio i valori che non corrispondevano a nessun elemento del dominio

In questo modo si può assicurare che F : [0, ∞] → [- 2, ∞ ] definito da F (x) = 3x2 - 2

È biettivo

Esercizio 3

Lascia che la funzione F sia: R → R definita da F (x) = Sen (x)

Nell'intervallo [- ∞, + ∞ ] la funzione seno varia i suoi risultati tra zero e uno.

La funzione F non corrisponde ai criteri di injectivity e sobreyectividad, perché i valori della variabile dipendente sono ripetuti ogni intervallo di π. Inoltre, i termini del codominio al di fuori dell'intervallo [-1, 1] non sono immagini di alcun elemento del dominio.

Quando studiamo il grafico della funzione F (x) = Sen (x), osserviamo intervalli in cui il comportamento della curva soddisfa i criteri della biettività . Ad esempio l'intervallo D _f = [ π / 2 , 3π / 2 ] per il dominio. E C _f = [-1, 1] per il codominio.

Dove la funzione varia risultati da 1 a -1, senza ripetere alcun valore nella variabile dipendente. E allo stesso tempo il codominio è uguale ai valori adottati dall'espressione Sen (x)

In questo modo la funzione F: [ π / 2 , 3π / 2 ] → [-1, 1] definito da F (x) = Sen (x). È biettivo

Esercizio 4

Posa le condizioni necessarie per D _f e C _f . Quindi l'espressione

F (x) = -x2 è bijective.

La ripetizione dei risultati viene osservata quando la variabile assume valori opposti:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

Il dominio è condizionato, limitandolo al lato destro della linea reale.

D _f = [0, + ∞ ]

Allo stesso modo si osserva che l'intervallo di questa funzione è l'intervallo [- ∞ , 0], che quando agisce come un codominio soddisfa le condizioni di sovra-attività.

In questo modo possiamo concludere quello

L'espressione F: [0, + ∞ ] → [- ∞ , 0] definita da F (x) = -x2 È bidirezionale