Costante di integrazione: significato, come viene calcolato ed esempi

La costante di integrazione è un valore aggiunto al calcolo degli antiderivati o degli integrali, serve a rappresentare le soluzioni che costituiscono il primitivo di una funzione. Esprime un'ambiguità intrinseca in cui ogni funzione ha un numero infinito di primitive.

Ad esempio, se la funzione è presa: f (x) = 2x + 1 e otteniamo la sua antiderivata:

∫ (2x + 1) dx = x2 + x + C ; Dove C è la costante di integrazione e rappresenta graficamente la traduzione verticale tra le infinite possibilità del primitivo. È corretto dire che (x2 + x) è uno dei primitivi di f (x).

Allo stesso modo possiamo definire a (x2 + x + C ) la primitiva di f (x).

Proprietà inversa

Si può notare che quando si ottiene l'espressione (x2 + x) si ottiene la funzione f (x) = 2x + 1. Ciò è dovuto alla proprietà inversa esistente tra la derivazione e l'integrazione di funzioni. Questa proprietà consente di ottenere formule di integrazione a partire dalla differenziazione. Che consente la verifica di integrali attraverso gli stessi derivati.

Tuttavia (x2 + x) non è l'unica funzione la cui derivata è uguale a (2x + 1).

d ( x2 + x) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + 1) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + 2) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + 3) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + C ) / dx = 2x + 1

Dove 1, 2, 3 e 4 rappresentano particolari primitivi di f (x) = 2x + 1. Mentre 5 rappresenta l'integrale indefinito o primitivo di f (x) = 2x + 1.

I primitivi di una funzione sono raggiunti attraverso il processo di antiderivazione o integrale. Dove F sarà un primitivo di f se il seguente è vero

y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = costante di integrazione
F '(x) = f (x)

Si comprende che una funzione ha una derivata singola, a differenza delle sue primitive infinite risultanti dall'integrazione.

L'integrale indefinito

∫ f (x) dx = F (x) + C

Corrisponde a una famiglia di curve con lo stesso modello, che sperimentano l'incongruenza nel valore delle immagini di ciascun punto (x, y). Ogni funzione conforme a questo modello sarà una primitiva individuale e l'insieme di tutte le funzioni è noto come un integrale indefinito.

Il valore della costante di integrazione sarà quello che distingue ciascuna funzione nella pratica.

La costante di integrazione suggerisce uno spostamento verticale in tutti i grafici che rappresentano i primitivi di una funzione. Dove si osserva il parallelismo tra di loro e il fatto che C è il valore dello spostamento.

Secondo le pratiche comuni, la costante di integrazione è indicata dalla lettera "C" dopo un addendo, sebbene in pratica sia indifferente se la costante viene aggiunta o sottratta. Il suo valore reale può essere trovato in modi diversi a seconda delle diverse condizioni iniziali .

Altri significati della costante di integrazione

Abbiamo già parlato di come la costante di integrazione viene applicata nel ramo del calcolo integrale ; Rappresentare una famiglia di curve che definiscono l'integrale indefinito. Ma molte altre scienze e rami hanno assegnato valori molto interessanti e pratici della costante di integrazione, che hanno facilitato lo sviluppo di più studi.

In fisica, la costante di integrazione può assumere più valori in base alla natura dei dati. Un esempio molto comune è conoscere la funzione V (t) che rappresenta la velocità di una particella rispetto al tempo t. È noto che il calcolo di una primitiva di V (t) fornisce la funzione R (t) che rappresenta la posizione della particella in funzione del tempo.

La costante di integrazione rappresenterà il valore della posizione iniziale, cioè nell'istante t = 0.

Allo stesso modo, se conosciamo la funzione A (t) che rappresenta l' accelerazione della particella in funzione del tempo. La primitiva di A (t) darà come risultato la funzione V (t), dove la costante di integrazione sarà il valore della velocità iniziale V ₀ .

In economia, ottenendo il primitivo di una funzione di costo mediante integrazione. La costante di integrazione rappresenterà i costi fissi. E tante altre applicazioni che richiedono il calcolo differenziale e integrale.

Come viene calcolata la costante di integrazione?

Per il calcolo della costante di integrazione, sarà sempre necessario conoscere le condizioni iniziali . Quali sono i responsabili della definizione di quale dei possibili primitivi è il corrispondente.

In molte applicazioni viene trattato come una variabile indipendente al tempo (t), dove la costante C assume i valori che definiscono le condizioni iniziali del caso particolare.

Se viene preso l'esempio iniziale: ∫ (2x + 1) dx = x2 + x + C

Una condizione iniziale valida può essere quella di condizionare il grafico a passare attraverso una specifica coordinata. Ad esempio, è noto che la primitiva (x2 + x + C) passa attraverso il punto (1, 2)

F (x) = x2 + x + C; questa è la soluzione generale

F (1) = 2

Sostituiamo la soluzione generale in questa uguaglianza

F (1) = (1) 2 + (1) + C = 2

Da dove si deduce facilmente che C = 0

In questo modo la primitiva corrispondente per questo caso è F (x) = x2 + x

Esistono diversi tipi di esercizi numerici che funzionano con le costanti di integrazione . In effetti, il calcolo differenziale e integrale non smette di essere applicato nelle indagini correnti. Possono essere trovati in diversi livelli accademici; dal calcolo iniziale, passando per la fisica, la chimica, la biologia, l'economia, tra gli altri.

Si vede anche nello studio delle equazioni differenziali, dove la costante di integrazione può assumere vari valori e soluzioni, questo a causa delle molteplici derivazioni e integrazioni che vengono fatte in questa materia.

Esempi

Esempio 1

Un cannone situato a 30 metri di altezza spara un proiettile verticalmente verso l'alto. È noto che la velocità iniziale del proiettile è di 25 m / s. determinare:

La funzione che definisce la posizione del proiettile rispetto al tempo.
Il tempo di volo o l'istante in cui la particella tocca il suolo.

È noto che in un moto rettilineo variamente uniforme l'accelerazione è un valore costante. Questo è il caso del lancio del proiettile, dove l'accelerazione sarà la gravità

g = - 10 m / s2

È anche noto che l'accelerazione è la seconda derivata della posizione, che indica una doppia integrazione nella risoluzione dell'esercizio, ottenendo così due costanti di integrazione.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

Le condizioni iniziali dell'esercizio indicano che la velocità iniziale è V ₀ = 25 m / s. Questa è la velocità al momento istantaneo t = 0. Quindi, segue che:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ e C ₁ = 25

La funzione velocità è definita

V (t) = -10t + 25; La somiglianza con la formula MRUV può essere osservata (V _f = V ₀ + axt)

In modo omologo, la funzione di velocità è integrata per ottenere l'espressione che definisce la posizione:

R (t) = ∫ V (t) dt = ∫ (-10 t + 25) dt = -5t2 + 25t + C ₂

R (t) = -5t2 + 25t + C ₂ (posizione primitiva)

La posizione iniziale R (0) = 30 m è nota. Quindi viene calcolata la particolare primitiva del proiettile.

R (0) = 30m = -5 (0) 2 + 25 (0) + C ₂ . Dove C ₂ = 30

La prima sezione è risolta poiché R (t) = -5t2 + 25t + 30 ; Questa espressione è omologa alla formula di spostamento in MRUV R (t) = R ₀ + V ₀ t - gt2 / 2

Per la seconda sezione dobbiamo risolvere l'equazione quadratica: -5t2 + 25t + 30 = 0

Poiché questo condiziona la particella a raggiungere il suolo (posizione = 0)

In realtà l'equazione di 2 ° grado ci dà 2 soluzioni T: {6, -1}. Il valore t = -1 viene ignorato perché sono unità temporali il cui dominio non include numeri negativi.

In questo modo, viene risolta la seconda sezione, in cui il tempo di volo è pari a 6 secondi.

Esempio 2

Trova la primitiva f (x) che soddisfa le condizioni iniziali:

f "(x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

Con l'informazione della seconda derivata f '' (x) = 4 viene avviato il processo di antiderivazione

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

Quindi, conoscendo la condizione f '(2) = 2, procedere:

4 (2) + C ₁ = 2

C ₁ = -6 e f '(x) = 4x - 8

La stessa procedura è seguita per la seconda costante di integrazione

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ (4x - 8) dx = 2x2 - 8x + C ₂

La condizione iniziale f (0) = 7 è nota e procediamo:

2 (0) 2 - 8 (0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 ep (x) = 2x2 - 8x + 7

f "(x) = x2; f '(0) = 6; f (0) = 3

In modo simile al problema precedente, definiamo le prime derivate e la funzione originale dalle condizioni iniziali.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (x2) dx = (x3 / 3) + C ₁

Con condizione f '(0) = 6 procedere:

(03/3) + C ₁ = 6; Dove C ₁ = 6 ep '(x) = (x3 / 3) + 6

Quindi la seconda costante di integrazione

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ [(x3 / 3) + 6] dx = (x4 / 12) + 6x + C ₂

La condizione iniziale f (0) = 3 è nota e procede:

[(0) 4/12] + 6 (0) + C ₂ = 3; Dove C ₂ = 3

Si ottiene così la particolare primitiva

f (x) = (x4 / 12) + 6x + 3

Esempio 3

Definisci le funzioni primitive date le derivate e un punto del grafico:

dy / dx = 2x - 2 Cosa succede attraverso il punto (3, 2)

È importante ricordare che le derivate si riferiscono alla pendenza della linea tangente alla curva in un determinato punto. Dove non è corretto assumere che il grafico della derivata tocchi il punto indicato, poiché questo appartiene al grafico della funzione primitiva.

In questo modo esprimiamo l'equazione differenziale nel modo seguente:

dy = ( 2x - 2) dx ; quindi, quando si applicano i criteri di antiderivazione, abbiamo:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

y = x2 - 2x + C

Applicando la condizione iniziale:

2 = (3) 2 - 2 (3) + C

C = -1

Ottieni: f (x) = x2 - 2x - 1

dy / dx = 3x2 - 1 Cosa succede attraverso il punto (0, 2)

Esprimiamo l'equazione differenziale nel modo seguente:

dy = ( 3x2 - 1) dx ; quindi, quando si applicano i criteri di antiderivazione, abbiamo:

∫dy = ∫ ( 3x2 - 1) dx

y = x3 - x + C

Applicando la condizione iniziale:

2 = (0) 2 - 2 (0) + C

C = 2

Ottieni: f (x) = x3 - x + 2

Esercizi proposti

Esercizio 1

Trova la primitiva f (x) che soddisfa le condizioni iniziali:

f "(x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
f "(x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
f "(x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Esercizio 2

Un pallone che sale a una velocità di 16 piedi / s rilascia un sacco di sabbia da un'altezza di 64 piedi sopra il livello del suolo.

Definisci il tempo di volo
Quale sarà il vettore V _f quando tocca il pavimento?

Esercizio 3

La figura mostra il grafico del tempo di accelerazione di un'auto che si muove nella direzione positiva dell'asse x. La macchina viaggiava a una velocità costante di 54 km / h quando l'autista ha applicato i freni per fermarsi in 10 secondi. determinare: