Trasformata di Fourier discreta: proprietà, applicazioni ed esempi
La trasformata discreta di Fourier è un metodo numerico utilizzato per definire campioni che si riferiscono alle frequenze spettrali che costituiscono un segnale. Studia le funzioni periodiche in parametri chiusi, risultando in un altro segnale discreto.
Per ottenere la trasformata di Fourier discreta di N punti, su un segnale discreto, le seguenti 2 condizioni devono essere soddisfatte su una sequenza x [n]
x [n] = 0 n N - 1
Adempiendo a queste condizioni, la trasformata di Fourier discreta può essere definita come
La trasformata discreta di Fourier può essere definita come un campionamento su N punti della trasformata di Fourier.
Interpretazione della trasformata di Fourier discreta
Ci sono 2 punti di vista dai quali è possibile interpretare i risultati ottenuti su una sequenza x s [n] attraverso la trasformata di Fourier discreta.
-Il primo corrisponde ai coefficienti spettrali, già noti dalla serie di Fourier. Si osserva in segnali periodici discreti, con campioni che coincidono con la sequenza x s [n].
-Il secondo riguarda lo spettro di un segnale aperiodico discreto, con campioni corrispondenti alla sequenza x s [n].
La trasformata discreta è un'approssimazione allo spettro del segnale analogico originale. La sua fase dipende dai tempi di campionamento, mentre la sua grandezza dipende dall'intervallo di campionamento.
proprietà
Le basi algebriche della struttura costituiscono le basi logiche delle seguenti sezioni.
linearità
C. S n → C. F [ S k ]; Se una sequenza viene moltiplicata per uno scalare, anche la sua trasformazione sarà.
T n + V n = F [T k ] + F [V k ]; La trasformazione di una somma è uguale alla somma delle trasformazioni.
dualità
F [S n ] → (1 / N) S -k; Se un'espressione trasformata viene ricalcolata dalla trasformata di Fourier discreta, viene ottenuta la stessa espressione, ridimensionata in N e invertita rispetto all'asse verticale.
circonvoluzione
Seguendo obiettivi simili che nella trasformata di Laplace, la convoluzione di funzioni si riferisce al prodotto tra le sue trasformate di Fourier. La convoluzione si applica anche a tempi discreti ed è responsabile di molte procedure moderne.
X n * R n → F [X n ] .F [R n ]; La trasformazione di una convoluzione è uguale al prodotto delle trasformazioni.
X n . R n → F [X n ] * F [R n ]; La trasformazione di un prodotto è uguale alla convoluzione delle trasformazioni.
spostamento
X nm → F [X k ] e -i (2π / N) km; Se una sequenza viene ritardata in m campioni, il suo effetto nella trasformata discreta sarà una modifica dell'angolo definito da (2π / N) km.
Simmetria coniugata
X t [-k] = X * t [k] = X t [N - K]
modulazione
W-nm N. x [n] ↔ X t [k - m]
prodotto
x [n] e [n] ↔ (1 / N) X t [k] * Y t [k]
simmetria
X [-n] ↔ X t [-k] = X * t [k]
coniugare
x * [n] ↔ X * t [-k]
Equazione Parseval
Somiglianze e differenze con la trasformata di Fourier
Rispetto alla trasformata di Fourier convenzionale, ha molte somiglianze e differenze. La trasformata di Fourier converte una sequenza in una linea continua. In questo modo si dice che il risultato della variabile di Fourier è una funzione complessa di una variabile reale.
La trasformata discreta di Fourier, al contrario, riceve un segnale discreto e lo trasforma in un altro segnale discreto, cioè una sequenza.
A cosa serve la trasformata di Fourier discreta?
Servono principalmente a semplificare notevolmente le equazioni, mentre trasformano le espressioni derivate in elementi di potere. Denotando espressioni differenziali in forme di polinomi integrabili.
Nell'ottimizzazione, la modulazione e la modellazione dei risultati agisce come un'espressione standardizzata, essendo una risorsa frequente per l'ingegneria dopo diverse generazioni.
storia
Questo concetto matematico fu presentato da Joseph B. Fourier nel 1811, mentre sviluppava un trattato sulla propagazione del calore. È stato rapidamente adottato da vari rami della scienza e dell'ingegneria.
È stato stabilito come principale strumento di lavoro nello studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali, anche rispetto alla relazione di lavoro tra la trasformata di Laplace e le equazioni differenziali ordinarie.
Qualsiasi funzione che può essere utilizzata con la trasformata di Fourier deve avere la nullità al di fuori di un parametro definito.
Trasformata di Fourier discreta e sua inversa
La trasformazione discreta è ottenuta attraverso l'espressione:
Dopo aver dato una sequenza discreta X [n]
L'inverso della trasformata di Fourier discreta è definito dall'espressione:
Una volta ottenuta la trasformazione discreta, definire la sequenza nel dominio del tempo X [n].
I windowing
Il processo di parametrizzazione corrispondente alla trasformata discreta di Fourier si trova nella finestra. Per lavorare sulla trasformazione dobbiamo limitare la sequenza nel tempo. In molti casi i segnali in questione non hanno tali limiti.
Una sequenza che non soddisfa i criteri dimensionali da applicare alla trasformazione discreta può essere moltiplicata per una funzione "finestra" V [n], che definisce il comportamento della sequenza in un parametro controllato.
X [n] V [n]
La larghezza dello spettro dipenderà dalla larghezza della finestra. All'aumentare della larghezza della finestra, la trasformazione calcolata sarà più stretta.
applicazioni
Calcolo della soluzione fondamentale
La trasformata discreta di Fourier è un potente strumento nello studio di sequenze discrete.
La trasformata discreta di Fourier trasforma una funzione variabile continua in una trasformata a variabile discreta.
Il problema di Cauchy per l'equazione del calore presenta un campo comune di applicazione della trasformata discreta di Fourier . Dove viene generata la funzione di calore principale o nucleo di Dirichlet, che si applica ai valori campione in un parametro definito.
Teoria del segnale
La ragione generale per l'applicazione della trasformata discreta di Fourier in questo ramo è principalmente dovuta alla caratteristica scomposizione di un segnale come una sovrapposizione infinita di segnali più facilmente trattabili.
Può essere un'onda sonora o un'onda elettromagnetica, la trasformata discreta di Fourier la esprime in una sovrapposizione di onde semplici. Questa rappresentazione è abbastanza frequente nell'ingegneria elettrica.
La serie di Fourier
Sono serie definite in termini di Coseni e Seni. Servono per facilitare il lavoro con funzioni periodiche generali. Quando applicati, fanno parte delle tecniche per risolvere equazioni differenziali parziali e ordinarie.
Le serie di Fourier sono ancora più generali della serie di Taylor, perché sviluppano funzioni discontinue periodiche che non hanno rappresentazione nelle serie di Taylor.
Altre forme della serie di Fourier
Per comprendere analiticamente la trasformata di Fourier è importante rivedere gli altri modi in cui la serie di Fourier può essere trovata, fino a quando non possiamo definire la serie di Fourier nella sua complessa notazione.
- Serie di Fourier su una funzione di periodo 2L:
Molte volte è necessario adattare la struttura di una serie di Fourier a funzioni periodiche il cui periodo è p = 2L> 0 nell'intervallo [-L, L].
- Serie di Fourier in funzioni dispari e pari
Viene considerato l'intervallo [-π, π], che offre vantaggi quando si sfruttano le caratteristiche simmetriche delle funzioni.
Se f è pari, la serie di Fourier viene stabilita come una serie di Coseni.
Se f è dispari, la serie di Fourier viene stabilita come una serie di Seni.
-Notazione completa della serie di Fourier
Se si ha una funzione f (t), che soddisfa tutti i requisiti della serie di Fourier, è possibile denotarla nell'intervallo [-t, t] utilizzando la sua notazione complessa:
Esempi
Per quanto riguarda il calcolo della soluzione fondamentale, vengono presentati i seguenti esempi:
Equazione di Laplace
Equazione di calore
Equazione di Schrödinger
Equazione delle onde
D'altra parte, sono esempi di applicazione della trasformata di Fourier discreta nel campo della teoria dei segnali come segue:
-Problemi di identificazione del sistema. Fyg stabilito
-Problema con la coerenza del segnale di uscita
-Problemi con il filtraggio del segnale
formazione
Esercizio 1
Calcola la trasformata di Fourier discreta per la sequenza successiva.
Puoi definire il TDF di x [n] come:
X t [k] = {4, -j2, 0, j2} per k = 0, 1, 2, 3
Esercizio 2
Vogliamo determinare, attraverso un algoritmo digitale, il segnale spettrale definito dall'espressione x (t) = et. Dove il coefficiente di richiesta della frequenza massima è f m = 1Hz. Un'armonica corrisponde a f = 0, 3 Hz. L'errore è limitato a meno del 5%. Calcola f s, D e N.
Tenendo conto del teorema di campionamento f s = 2f m = 2 Hz
Viene scelta una risoluzione in frequenza di f 0 = 0, 1 Hz, da cui otteniamo D = 1 / 0, 1 = 10 s
0, 3 Hz è la frequenza corrispondente all'indice k = 3, dove N = 3 × 8 = 24 campioni. Indica che f s = N / D = 24/10 = 2.4> 2
Poiché l'obiettivo è ottenere il valore più basso possibile per N, i seguenti valori possono essere considerati come una soluzione:
f 0 = 0, 3 Hz
D = 1 / 0, 3 = 3, 33 s
k = 1
N = 1 × 8 = 8
