Trasformata di Fourier: proprietà, applicazioni, esempi ed esercizi

La trasformata di Fourier è un metodo di adattamento analitico orientato a funzioni integrabili che appartengono alla famiglia delle trasformazioni integrate . Consiste in una ridefinizione delle funzioni f (t) in termini di Cos (t) e Sen (t).

Le identità trigonometriche di queste funzioni, insieme alle loro caratteristiche di derivazione e antiderivazione, servono a definire la trasformata di Fourier attraverso la seguente complessa funzione:

Questo è vero finché l'espressione ha senso, cioè quando l'integrale improprio è convergente. Algebricamente si dice che la trasformata di Fourier sia un omeomorfismo lineare.

Qualsiasi funzione che può essere utilizzata con la trasformata di Fourier deve avere la nullità al di fuori di un parametro definito.

proprietà

La trasformata di Fourier è conforme alle seguenti proprietà:

esistenza

Per verificare l'esistenza della trasformata di Fourier in una funzione f (t) definita nei reali R, devono essere soddisfatti i seguenti 2 assiomi:

f (t) è continuo a pezzi per tutti i R
f (t) è integrabile in R

Linearità della trasformazione di Fourier

Sia M (t) e N (t) due qualsiasi funzione con trasformate di Fourier definite, con le costanti a e b, qualsiasi.

F [a M (t) + b N (t)] (z) = a F [M (t)] (z) + b F [N (t)] (z)

Che si basa anche sulla linearità dell'integrale con lo stesso nome.

Trasformata di Fourier di una derivata

Abbiamo una funzione f che è continua e integrabile in tutti i real, dove:

E la derivata di f (f ') è continua e definita in pezzi in tutto R

La trasformata di Fourier di una derivata è definita dall'integrazione per parti, dalla seguente espressione:

F [f '(t)] (z) = iz F [f (t)] (z)

Nelle derivazioni di ordine superiore, sarà applicato in modo omologo, dove per tutto il n 1 devi:

F [f n '(t)] (z) = (iz) n F [f (t)] (z)

Differenziazione della trasformata di Fourier

Abbiamo una funzione f che è continua e integrabile in tutti i real, dove:

I (d / dz) F [f (t)] (z) = F [t. f (t)] (z)

Trasformata di Fourier di una traduzione

Per ogni cosa che θ appartiene a un set S e T che appartiene all'insieme S ', deve:

F [ τ _a θ] = e-iay F [ θ] F [ τ _a T ] = e-iax F [ T]

Con τ _un lavoro come operatore di traduzione sul vettore a.

Traduzione della trasformata di Fourier

Per ogni cosa che θ appartiene a un set S e T che appartiene all'insieme S ', deve:

τ _a F [θ] = F [e-iax . θ] τ _a F [T ] = F [e-iay . T]

Per tutto ciò che appartiene a R

Trasformata di Fourier di un gruppo di scale

Per tutti θ che appartiene a un set S. T che appartiene all'insieme S '

λ appartenente a R - {0} devi:

F [θ (λx)] = (1 / | λ |) F [θ] ( y / λ )

F [T (λx)] = (1 / | λ |) F [T] (y / λ )

Se f è una funzione continua e chiaramente integrabile, dove a> 0. Quindi:

F [f (at)] (z) = (1 / a) F [f (t)] (z / a)

Per dimostrare questo risultato puoi procedere con il cambio di variabile.

Quando T → + allora s = a → + ∞

Quando T → - allora s = a → - ∞

simmetria

Per studiare la simmetria della trasformata di Fourier, è necessario verificare l'identità di Parseval e la formula di Plancherel.

Abbiamo θ e δ che appartengono a S. Da lì si può dedurre che:

ottenuto

1 / (2π) d { F [θ ], F [δ ] } Identity of Parseval

1 / (2π) d / 2 || F [θ ] || _L 2 _R d formula di Plancherel

Trasformata di Fourier di un prodotto in convoluzione

Seguendo obiettivi simili che nella trasformata di Laplace, la convoluzione di funzioni si riferisce al prodotto tra le sue trasformate di Fourier.

Abbiamo f e g come 2 funzioni limitate, definite e completamente integrabili:

F (f * g) = F (f). F (g)

Quindi quando si modifica la variabile

t + s = x; continua con l'integrale doppio improprio

F (f). F (g) = F (f G)

Continuità e caduta nell'infinito

Per tutto ciò che appartiene a R, F [ θ] obbedisce ai criteri della funzione continua delimitata in Rd.

Anche { F [ θ] (y)} → 0 in C se | y | → ∞

storia

Questo concetto matematico fu presentato da Joseph B. Fourier nel 1811 mentre sviluppava un trattato sulla propagazione del calore. È stato rapidamente adottato da vari rami della scienza e dell'ingegneria.

È stato stabilito come principale strumento di lavoro nello studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali, anche rispetto alla relazione di lavoro tra la trasformata di Laplace e le equazioni differenziali ordinarie.

A cosa serve la trasformata di Fourier?

Serve principalmente a semplificare considerevolmente le equazioni, mentre trasforma le espressioni derivate in elementi di potenza, che denotano espressioni differenziali sotto forma di polinomi integrabili.

Nell'ottimizzazione, la modulazione e la modellazione dei risultati agisce come un'espressione standardizzata, essendo una risorsa frequente per l'ingegneria dopo diverse generazioni.

La serie di Fourier

Sono serie definite in termini di Coseni e Seni; servono per facilitare il lavoro con funzioni periodiche generali. Quando applicati, fanno parte delle tecniche per risolvere equazioni differenziali parziali e ordinarie.

Le serie di Fourier sono ancora più generali della serie di Taylor, perché sviluppano funzioni discontinue periodiche che non hanno rappresentazione nelle serie di Taylor.

Altre forme della serie di Fourier

Per comprendere analiticamente la trasformazione di Fourier, è importante rivedere le altre forme in cui è possibile trovare la serie di Fourier, fino a quando non possiamo definire la serie di Fourier nella sua notazione complessa.

- Serie di Fourier su una funzione di periodo 2L

Molte volte è necessario adattare la struttura di una serie di Fourier a funzioni periodiche il cui periodo è p = 2L> 0 nell'intervallo [-L, L].

- Serie di Fourier in funzioni dispari e pari

Viene considerato l'intervallo [-π, π], che offre vantaggi quando si sfruttano le caratteristiche simmetriche delle funzioni.

Se f è pari, la serie di Fourier viene stabilita come una serie di Coseni.

Se f è dispari, la serie di Fourier viene stabilita come una serie di Seni.

-Notazione completa della serie di Fourier

Se abbiamo una funzione f (t), che soddisfa tutti i requisiti per lo sviluppo della serie di Fourier, è possibile denotarla nell'intervallo [-t, t] utilizzando la sua notazione complessa:

applicazioni

Calcolo della soluzione fondamentale

La trasformata di Fourier è un potente strumento nello studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali del tipo lineare con coefficienti costanti. Si applicano allo stesso modo per le funzioni con domini illimitati.

Come la trasformata di Laplace, la trasformata di Fourier trasforma una funzione derivata parziale in un'equazione differenziale ordinaria che è molto più semplice da utilizzare.

Il problema di Cauchy per l'equazione del calore presenta un frequente campo di applicazione della trasformata di Fourier in cui viene generata la funzione di calore del nucleo o il nucleo di Dirichlet.

Per quanto riguarda il calcolo della soluzione fondamentale, vengono presentati i seguenti casi in cui è comune trovare la trasformata di Fourier:

-Qualazione di Laplace

-Qualificazione del calore

-Equità di Schrödinger

-Equitazione delle onde

Teoria del segnale

La ragione generale per l'applicazione della trasformata di Fourier in questo ramo è principalmente dovuta alla caratteristica scomposizione di un segnale come una sovrapposizione infinita di segnali più facilmente trattabili.

Può essere un'onda sonora o un'onda elettromagnetica, la trasformata di Fourier la esprime in una sovrapposizione di onde semplici. Questa rappresentazione è abbastanza frequente nell'ingegneria elettrica.

D'altra parte, ci sono esempi di applicazione della trasformata di Fourier nel campo della teoria dei segnali:

-Problemi di identificazione del sistema. Fyg stabilito

-Problema con la coerenza del segnale di uscita

-Problemi con il filtraggio del segnale