Teorema di Green, dimostrazione, applicazioni e esercizi risolti
Il teorema di Green è un metodo di calcolo utilizzato per correlare integrali di linea con integrali di superficie doppia o di superficie. Le funzioni coinvolte devono essere indicate come campi vettoriali e definite all'interno della traiettoria C.
Ad esempio, un'espressione integrale di riga può essere molto complicata da risolvere; tuttavia, implementando il teorema di Green, i doppi integrali diventano piuttosto basilari. È sempre importante rispettare la direzione positiva della traiettoria, questo si riferisce alla direzione antioraria.
Il teorema di Green è un caso particolare del teorema di Stokes, in cui la proiezione della funzione vettoriale viene eseguita nel piano xy.
definizione
L'espressione del teorema di Green è la seguente:
Nel primo termine viene osservato l'integrale di linea definito dal percorso "C" del prodotto scalare tra la funzione vettoriale "F" e quella del vettore "r".
C: È il percorso definito su cui verrà proiettata la funzione vettoriale fintanto che è definita per quel piano.
F: Funzione vettoriale, dove ciascuno dei suoi componenti è definito da una funzione come tale (f, g).
A: È un vettore tangente alla regione R su cui è definito l'integrale. In questo caso operiamo con un differenziale di questo vettore.
Nel secondo termine vediamo il teorema di Green sviluppato, dove osserviamo il doppio integrale definito nella regione R della differenza delle derivate parziali di gyf, rispetto a ax e y rispettivamente. Per un differenziale di area che non è superiore al prodotto di entrambi i differenziali bidimensionali (dx.dy).
Questo teorema è perfettamente applicabile per lo spazio e gli integrali di superficie.
spettacolo
Per dimostrare il teorema di Green in un modo semplice, questo compito sarà suddiviso in 2 parti. Innanzitutto assumeremo che la funzione vettoriale F abbia solo definizione nel verso i. Mentre la funzione "g" corrispondente al versore j sarà uguale a zero.
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
Per prima cosa abbiamo sviluppato la linea integrale sulla traiettoria C, per la quale la traiettoria è stata segmentata in 2 sezioni che vanno prima dalla a alla b e poi dalla b alla a.
Viene applicata la definizione del teorema fondamentale del calcolo per un integrale definito.
L'espressione viene riordinata in un singolo integrale, diventa fattore comune al negativo e l'ordine dei fattori è invertito.
Osservando questa espressione in dettaglio, diventa evidente che quando si applicano i criteri della funzione primitiva, si è in presenza dell'integrale dell'espressione derivata di f rispetto a y. Valutato nei parametri
Ora è sufficiente supporre che la funzione vettoriale F sia definita solo per g (x, y) j . Dove operare in un modo simile al caso precedente, ottieni:
Per finire, prendi le 2 dimostrazioni e unisciti al caso in cui la funzione vettoriale assume valori per entrambi i versi. In questo modo viene mostrato come integrale della linea dopo essere stato definito e considerato come una traiettoria unidimensionale, può essere sviluppato completamente per il piano e lo spazio.
F = f (x, y) i + g (x, y) j
In questo modo, il teorema di Green è dimostrato.
applicazioni
Le applicazioni del teorema di Green sono estese nei rami della fisica e della matematica. Questi si estendono a qualsiasi applicazione o uso che può essere dato all'integrazione di linea.
Il lavoro meccanico fatto da una forza F attraverso una traiettoria C, può essere sviluppato da un integrale di linea che è espresso come un doppio integrale di un'area mediante il teorema di Green.
I momenti di inerzia di molti corpi sottoposti a forze esterne in diversi punti di applicazione rispondono anche a integrali di linea che possono essere sviluppati con il teorema di Green.
Questo ha molteplici funzionalità negli studi di resistenza dei materiali in uso. Dove i valori esterni possono essere quantificati e presi in considerazione prima dello sviluppo di vari elementi.
In generale, il teorema di Green facilita la comprensione e la definizione delle aree in cui le funzioni vettoriali sono definite rispetto ad una regione secondo una traiettoria.
storia
Fu pubblicato nel 1828 nel lavoro Analisi matematica alle teorie dell'elettricità e del magnetismo, scritto dal matematico britannico George Green. Esplora sezioni piuttosto determinanti nell'applicazione del calcolo in fisica, come il concetto di funzioni potenziali, le funzioni di Green e le applicazioni del suo teorema omonimo.
George Green ha formalizzato la sua carriera da studente a 40 anni, fino ad ora essendo un matematico completamente autodidatta. Dopo aver studiato all'Università di Cambridge ha continuato la sua ricerca, apportando contributi nel campo dell'acustica, dell'ottica e dell'idrodinamica che sono ancora in vigore oggi.
Relazione con altri teoremi
Il teorema di Green è un caso speciale e deriva da altri due teoremi molto importanti nel ramo del calcolo. Questi sono il teorema di Kelvin-Stokes e il teorema di Gauss Ostrogradski o divergenza.
Partendo da uno di questi teoremi, si può arrivare al teorema di Green. Alcune definizioni e proposizioni sono necessarie per sviluppare tali dimostrazioni.
formazione
- L'esercizio seguente mostra come trasformare una linea integrale in un integrale doppio rispetto ad una regione R.
L'espressione originale è la seguente:
Dove vengono prese le funzioni corrispondenti afyg
f (x, y) = x3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Non esiste un modo unico per definire i limiti di integrazione quando si applica il teorema di Green. Ma ci sono modi in cui gli integrali dopo essere stati definiti possono essere più semplici. In tal modo l'ottimizzazione dei limiti di integrazione merita attenzione.
Dove risolvere gli integrali otteniamo:
Questo valore corrisponde in unità cubiche alla regione al di sotto della funzione vettoriale e alla regione triangolare definita da C.
Per il caso dell'integrale di riga senza eseguire il metodo Green, sarebbe stato necessario parametrizzare le funzioni in ciascuna sezione della regione. Cioè, eseguire 3 integrali parametrizzati per la risoluzione. Questa è una prova sufficiente dell'efficacia che Robert Green ha portato con il suo teorema al calcolo.
