Teorema di Varignon: esempi e esercizi risolti
Il teorema di Varignon afferma che se in qualsiasi quadrilatero, i punti medi dei lati vengono uniti continuamente, viene generato un parallelogramma. Questo teorema è stato formulato da Pierre Varignon e pubblicato nel 1731 nel libro Elements of Mathematics . "
La pubblicazione del libro avvenne anni dopo la sua morte. Poiché Varignon è stato colui che ha presentato questo teorema, il parallelogramma prende il suo nome. Il teorema si basa sulla geometria euclidea e presenta relazioni geometriche di quadrilateri.
Qual è il teorema di Varignon?
Varignon sosteneva che una figura definita dai punti medi di un quadrilatero risultasse sempre in un parallelogramma, e l'area di questa sarà sempre metà dell'area del quadrilatero se è piatta e convessa. Ad esempio:
Nella figura possiamo vedere un quadrilatero con un'area X, dove i punti medi dei lati sono rappresentati da E, F, G e H e, quando sono uniti, formano un parallelogramma. L'area del quadrilatero sarà la somma delle aree dei triangoli che si formano e metà di questa corrisponde all'area del parallelogramma.
Poiché l'area del parallelogramma è la metà dell'area del quadrilatero, è possibile determinare il perimetro di tale parallelogramma.
Pertanto, il perimetro è uguale alla somma delle lunghezze delle diagonali del quadrilatero; questo perché le mediane del quadrilatero saranno le diagonali del parallelogramma.
D'altra parte, se le lunghezze delle diagonali del quadrilatero sono esattamente le stesse, il parallelogramma sarà un diamante. Ad esempio:
Dalla figura si può notare che, unendo i punti medi dei lati del quadrilatero, si ottiene un rombo. D'altro canto, se le diagonali del quadrilatero sono perpendicolari, il parallelogramma sarà un rettangolo.
Anche il parallelogramma sarà un quadrato quando il quadrilatero ha le diagonali con la stessa lunghezza ed è anche perpendicolare.
Il teorema non si realizza solo in quadrilateri piatti, ma è implementato anche in geometria spaziale o in grandi dimensioni; cioè, in quei quadrilateri che non sono convessi. Un esempio di questo può essere un ottaedro, in cui i punti medi sono i centroidi di ciascuna faccia e formano un parallelepipedo.
In questo modo, unendo i punti medi di diverse figure, si possono ottenere i parallelogrammi. Un modo semplice per verificare se questo è vero è che i lati opposti devono essere paralleli quando vengono prolungati.
Esempi
Primo esempio
Prolungamento dei lati opposti per mostrare che è un parallelogramma:
Secondo esempio
Unendo i punti medi di un diamante otteniamo un rettangolo:
Il teorema viene utilizzato nell'unione di punti situati al centro dei lati di un quadrilatero e può essere utilizzato anche per altri tipi di punti, ad esempio in una trisezione, in una sezione di penta o anche in un numero infinito di sezioni ( nth), al fine di dividere i lati di ogni quadrilatero in segmenti proporzionali.
Esercizi risolti
Esercizio 1
Nella figura abbiamo un quadrilatero ABCD dell'area Z, dove i punti medi dei lati di questo sono PQSR. Controllare che si formi un parallelogramma di Varignon.
soluzione
Si può verificare che quando si uniscono i punti PQSR si forma un parallelogramma di Varignon, proprio perché nella dichiarazione sono indicati i punti medi di un quadrilatero.
Per dimostrarlo, i punti medi PQSR sono uniti, quindi si può vedere che si forma un altro quadrilatero. Per dimostrare che si tratta di un parallelogramma, dobbiamo solo tracciare una linea retta dal punto C al punto A, quindi possiamo vedere che CA è parallelo a PQ e RS.
Allo stesso modo, estendendo i lati PQRS si può notare che PQ e RS sono paralleli, come mostrato nell'immagine seguente:
Esercizio 2
Ha un rettangolo tale che le lunghezze di tutti i suoi lati sono uguali. Quando si uniscono i punti medi di questi lati, si forma un rombo ABCD, che è diviso da due diagonali AC = 7 cm e BD = 10 cm, che coincidono con le misure dei lati del rettangolo. Determinare le aree di diamante e rettangolo.
soluzione
Ricordando che l'area del parallelogramma risultante è metà del quadrilatero, è possibile determinare l'area di questi sapendo che la misura delle diagonali coincide con i lati del rettangolo. Quindi devi:
AB = D
CD = d
Un rettangolo = (AB * CD) = (10 cm * 7 cm) = 70 cm2
Un diamante = Un rettangolo / 2
Un rombo = 70 cm2 / 2 = 35 cm2
Esercizio 3
Nella figura abbiamo un quadrilatero che ha l'unione dei punti EFGH, le lunghezze dei segmenti sono date. Determina se il legame di EFGH è un parallelogramma.
AB = 2.4 CG = 3.06
EB = 1, 75 GD = 2, 24
BF = 2, 88 DH = 2, 02
FC = 3, 94 HA = 2, 77
soluzione
Data la lunghezza dei segmenti, è possibile verificare se esiste una proporzionalità tra i segmenti; cioè, possiamo sapere se questi sono paralleli, in relazione ai segmenti del quadrilatero nel modo seguente:
- AE / EB = 2, 4 / 1, 75 = 1, 37
- AH / HD = 2, 77 / 2, 02 = 1, 37
- CF / FB = 3, 94 / 2, 88 = 1, 37
- CG / GD = 3, 06 / 2, 24 = 1, 37
Quindi viene verificata la proporzionalità, poiché:
AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD
Allo stesso modo, quando si traccia una linea dal punto B al punto D, possiamo vedere che EH è parallelo a BD, proprio come BD è parallelo a FG. D'altra parte, EF è parallelo a GH.
In questo modo si può determinare che EFGH è un parallelogramma, perché i lati opposti sono paralleli.
