Proprietà di uguaglianza
Le proprietà di uguaglianza si riferiscono alla relazione tra due oggetti matematici, numeri o variabili. È indicato dal simbolo «=», che va sempre tra questi due oggetti. Questa espressione è usata per stabilire che due oggetti matematici rappresentano lo stesso oggetto; in altre parole, che due oggetti sono la stessa cosa.
Ci sono casi in cui è banale usare l'uguaglianza. Ad esempio, è chiaro che 2 = 2. Tuttavia, quando si tratta di variabili, non è più banale e ha usi specifici. Ad esempio, se hai y = x e d'altra parte x = 7, puoi anche concludere che y = 7.
L'esempio precedente si basa su una delle proprietà di uguaglianza, come vedremo tra breve. Queste proprietà sono indispensabili per risolvere equazioni (uguaglianze che coinvolgono variabili), che formano una parte molto importante in matematica.
Quali sono le proprietà dell'uguaglianza?
Proprietà riflettente
La proprietà riflessiva, nel caso di uguaglianza, afferma che ogni numero è uguale a se stesso ed è espresso come b = b per ogni numero reale b.
Nel caso particolare di uguaglianza questa proprietà sembra essere ovvia, ma in un altro tipo di relazione tra numeri non lo è. In altre parole, non tutte le relazioni di numeri reali soddisfano questa proprietà. Ad esempio, un tale caso della relazione "minore di" (<); nessun numero è inferiore a se stesso.
Proprietà simmetrica
La proprietà simmetrica per l'uguaglianza dice che se a = b, allora b = a. Indipendentemente dall'ordine utilizzato nelle variabili, questo verrà mantenuto dalla relazione di uguaglianza.
Una certa analogia di questa proprietà può essere osservata con la proprietà commutativa nel caso di aggiunta. Ad esempio, a causa di questa proprietà è equivalente a scrivere y = 4 o 4 = y.
Proprietà transitiva
La proprietà transitiva in uguaglianza afferma che se a = b e b = c, allora a = c. Ad esempio, 2 + 7 = 9 e 9 = 6 + 3; quindi, per la proprietà transitiva abbiamo 2 + 7 = 6 + 3.
Una semplice applicazione è la seguente: supponi che Julian abbia 14 anni e che Mario abbia la stessa età di Rosa. Se Rosa ha la stessa età di Julian, quanti anni ha Mario?
Dietro questo scenario, la proprietà transitiva viene utilizzata due volte. Matematicamente è interpretato in questo modo: essere "un" età di Mario, "b" età di Rosa e "c" l'età di Julian. È noto che b = c ec = 14.
Per la proprietà transitiva abbiamo che b = 14; cioè, Rosa ha 14 anni. Poiché a = b e b = 14, usando di nuovo la proprietà transitiva, abbiamo a = 14; vale a dire, che l'età di Mario ha anche 14 anni.
Proprietà uniforme
La proprietà uniforme è che, se entrambi i lati di un'uguaglianza vengono aggiunti o moltiplicati per la stessa quantità, l'uguaglianza viene preservata. Ad esempio, se 2 = 2, quindi 2 + 3 = 2 + 3, che è chiaro, quindi 5 = 5. Questa proprietà ha più utilità quando si tratta di risolvere un'equazione.
Ad esempio, supponi di dover risolvere l'equazione x-2 = 1. È opportuno ricordare che la risoluzione di un'equazione consiste nel determinare esplicitamente la variabile (o le variabili) coinvolte, in base a un numero specifico oa una variabile specificata in precedenza.
Ritornando all'equazione x-2 = 1, ciò che si deve fare è trovare esplicitamente quanto vale x. Per questo, la variabile deve essere cancellata.
È stato erroneamente insegnato che in questo caso, poiché il numero 2 è negativo, passa all'altro lato dell'eguaglianza con un segno positivo. Ma non è corretto dirlo in questo modo.
Fondamentalmente, ciò che viene fatto è applicare la proprietà uniforme, come vedremo in seguito. L'idea è di cancellare "x"; cioè, lasciarlo da solo su un lato dell'equazione. Per convenzione di solito è lasciato sul lato sinistro.
A tale scopo, il numero che si desidera "eliminare" è -2. Il modo per farlo sarebbe aggiungere 2, poiché -2 + 2 = 0 e x + 0 = 0. Per fare ciò senza alterare l'uguaglianza, la stessa operazione deve essere applicata dall'altra parte.
Ciò consente di realizzare la proprietà uniforme: come x-2 = 1, se il numero 2 viene aggiunto su entrambi i lati dell'uguaglianza, la proprietà uniforme dice che lo stesso non è alterato. Quindi abbiamo x-2 + 2 = 1 + 2, che equivale a dire che x = 3. Con questo l'equazione sarebbe stata risolta.
Allo stesso modo, se vuoi risolvere l'equazione (1/5) y-1 = 9, puoi procedere usando la proprietà uniforme come segue:
Più in generale, le seguenti affermazioni possono essere fatte:
- Se ab = cb, allora a = c.
- Se xb = y, allora x = y + b.
- Se (1 / a) z = b, allora z = a ×
- Se (1 / c) a = (1 / c) b, allora a = b.
Cancellazione di proprietà
La proprietà di cancellazione è un caso particolare di proprietà uniforme, in particolare considerando il caso di sottrazione e divisione (che, alla fine, corrisponde anche a addizione e moltiplicazione). Questa proprietà tratta questo caso separatamente.
Ad esempio, se 7 + 2 = 9, quindi 7 = 9-2. O se 2y = 6, allora y = 3 (dividendo per due su entrambi i lati).
Analogamente al caso precedente, attraverso la proprietà di cancellazione si possono stabilire le seguenti affermazioni:
- Se a + b = c + b, allora a = c.
- Se x + b = y, allora x = yb.
- Se az = b, allora z = b / a.
- Se ca = cb, allora a = b.
Proprietà di sostituzione
Se conosciamo il valore di un oggetto matematico, la proprietà di sostituzione afferma che questo valore può essere sostituito in qualsiasi equazione o espressione. Ad esempio, se b = 5 e a = bx, quindi sostituendo il valore di "b" nella seconda uguaglianza, abbiamo a = 5x.
Un altro esempio è il seguente: se "m" divide "n" e anche "n" divide "m", allora deve essere che m = n.
In effetti, dire che "m" divide "n" (o equivalentemente, che "m" è un divisore di "n") significa che la divisione m non è esatta; cioè, dividendo "m" per "n" si ottiene un numero intero, non un numero decimale. Questo può essere espresso dicendo che esiste un intero "k" tale che m = k × n.
Poiché "n" divide anche "m", allora esiste un intero "p" tale che n = p × m. Per la proprietà di sostituzione, abbiamo n = p × k × n, e perché ciò accada ci sono due possibilità: n = 0, nel qual caso avremmo l'identità 0 = 0; op × k = 1, dove l'identità n = n dovrebbe essere.
Supponiamo che "n" sia diverso da zero. Quindi necessariamente p × k = 1; quindi p = 1 e k = 1. Usando di nuovo la proprietà di sostituzione, quando si sostituisce k = 1 nell'uguaglianza m = k × n (o equivalentemente, p = 1 in n = p × m) si ottiene infine che m = n, che era ciò che si voleva dimostrare.
Proprietà del potere in un'uguaglianza
Come precedentemente si è visto che se un'operazione viene eseguita come somma, moltiplicazione, sottrazione o divisione in entrambi i termini di uguaglianza, viene preservata, allo stesso modo si possono applicare altre operazioni che non alterano l'uguaglianza.
La chiave è di farlo sempre su entrambi i lati dell'eguaglianza e assicurarsi in anticipo che l'operazione possa essere eseguita. Questo è il caso dell'empowerment; cioè, se entrambi i lati di un'equazione sono elevati allo stesso potere, ha ancora un'eguaglianza.
Ad esempio, come 3 = 3, quindi 32 = 32 (9 = 9). In generale, dato un intero "n", se x = y, allora xn = yn.
Proprietà della radice in un'uguaglianza
Questo è un caso particolare di potenziamento e viene applicato quando il potere è un numero razionale non intero, come ½, che rappresenta la radice quadrata. Questa proprietà afferma che se la stessa radice viene applicata su entrambi i lati di un'uguaglianza (purché sia possibile farlo), l'uguaglianza viene preservata.
A differenza del caso precedente, qui bisogna stare attenti con la parità della radice da applicare, poiché è noto che la coppia di radici di un numero negativo non è ben definita.
Nel caso in cui il radicale sia pari, non ci sono problemi. Ad esempio, se x3 = -8, anche se è un'uguaglianza, non è possibile applicare una radice quadrata su entrambi i lati, ad esempio. Tuttavia, se è possibile applicare una radice cubica (che è ancora più comoda se si desidera conoscere esplicitamente il valore di x), ottenendo che x = -2.
