Logica matematica: origine, quali studi, tipi
La logica matematica o logica simbolica è un linguaggio matematico che comprende gli strumenti necessari per mezzo dei quali il ragionamento matematico può essere affermato o negato.
È noto che in matematica non ci sono ambiguità. Dato un argomento matematico, questo è valido o semplicemente non lo è. Non può essere falso e vero allo stesso tempo.
Un aspetto particolare della matematica è che ha un linguaggio formale e rigoroso attraverso il quale può essere determinata la validità di un ragionamento. Cos'è che rende certi ragionamenti o prove matematiche inconfutabili? Ecco di cosa tratta la logica matematica.
Quindi, la logica è la disciplina della matematica che è responsabile dello studio del ragionamento matematico e delle dimostrazioni e fornisce gli strumenti per essere in grado di inferire una conclusione corretta dalle precedenti affermazioni o proposizioni.
Per fare ciò, utilizza assiomi e altri aspetti matematici che verranno sviluppati in seguito.
Origine e storia
Le date esatte rispetto a molti aspetti della logica matematica sono incerte. Tuttavia, la maggior parte delle bibliografie sull'argomento ne traccia l'origine nell'antica Grecia.
Aristotele
L'inizio del rigoroso trattamento della logica è attribuito, in parte, ad Aristotele, che ha scritto un insieme di opere logiche, che sono state successivamente raccolte e sviluppate da diversi filosofi e scienziati, fino al Medioevo. Questo potrebbe essere considerato come "la vecchia logica".
Poi, in quella che è conosciuta come l'era contemporanea, Leibniz, mossa dal profondo desiderio di stabilire un linguaggio universale per ragionare matematicamente, e altri matematici come Gottlob Frege e Giuseppe Peano, influenzarono notevolmente lo sviluppo della logica matematica con grandi contributi tra questi, Peano Axioms, che formulano le proprietà indispensabili dei numeri naturali.
I matematici George Boole e Georg Cantor sono stati anche di grande influenza in questo momento, con importanti contributi in teoria degli insiemi e tavole di verità, evidenziando, tra gli altri aspetti, l'algebra booleana (di George Boole) e l'assioma della scelta (di George Cantor)
C'è anche Augustus De Morgan con le ben note leggi di Morgan, che contemplano smentite, congiunzioni, disgiunzioni e condizionale tra proposizioni, chiavi per lo sviluppo della Logica Simbolica, e John Venn con i famosi diagrammi di Venn.
Nel ventesimo secolo, all'incirca tra il 1910 e il 1913, mettono in evidenza Bertrand Russell e Alfred North Whitehead con la sua pubblicazione di Principia mathematica, un insieme di libri che raccoglie, sviluppa e postula una serie di assiomi e risultati logici.
Cosa studia la logica matematica?
proposizioni
La logica matematica inizia con lo studio delle proposizioni. Una proposizione è un'affermazione che senza alcuna ambiguità può essere detta se è vera o no. I seguenti sono esempi di proposizioni:
- 2 + 4 = 6.
- 52 = 35.
- Nel 1930 ci fu un terremoto in Europa.
Il primo è una proposizione vera e il secondo è una proposizione falsa. Il terzo, anche se è possibile che la persona che lo legge non sappia se è vero o immediato, è un'affermazione che può essere verificata e determinata se è realmente accaduta o meno.
I seguenti sono esempi di espressioni che non sono proposizioni:
- Lei è bionda.
- 2x = 6
- Giochiamo!
- Ti piacciono i film?
Nella prima proposizione, non è specificato chi sia "lei", quindi nulla può essere affermato. Nella seconda proposizione, ciò che è rappresentato da "x" non è stato specificato. Se invece si dicesse che 2x = 6 per un numero naturale x, in questo caso corrisponderebbe ad una proposizione, in effetti vera, poiché per x = 3 è soddisfatta.
Le ultime due affermazioni non corrispondono a una proposizione, poiché non c'è modo di negarle o affermarle.
Due o più proposizioni possono essere combinate (o collegate) usando i connettori connettivi conosciuti (o connettori). Questi sono:
- Negazione: "Non sta piovendo".
- Disgiunzione: "Luisa ha comprato una borsa bianca o grigia".
- Congiunzione: "42 = 16 e 2 × 5 = 10".
- Condizionale: "Se piove, allora non vado in palestra questo pomeriggio".
- Bicondizionale: "Vado in palestra questo pomeriggio se, e solo se, non piove".
Una proposizione che non possiede nessuno dei precedenti connettivi, è chiamata proposizione semplice (o atomica). Ad esempio, "2 è inferiore a 4", è una proposizione semplice. Le proposizioni che hanno qualche connettivo sono chiamate proposizioni composte, come per esempio "1 + 3 = 4 e 4 è un numero pari".
Le affermazioni fatte per mezzo di proposizioni sono solitamente lunghe, quindi è noioso scriverle sempre come abbiamo visto finora. Per questo motivo, viene utilizzato un linguaggio simbolico. Le proposizioni sono solitamente rappresentate da lettere maiuscole come P, Q, R, S, ecc. E il connettivo simbolico come segue:
Così
Il reciproco di una proposizione condizionale
è la proposizione
E il contrapposto (o contrapposto) di una proposizione
è la proposizione
Tabelle di verità
Un altro concetto importante nella logica è quello delle tabelle di verità. I valori di verità di una proposizione sono le due possibilità che abbiamo per una proposizione: true (che sarà indicato con V e diremo che il suo valore di verità è V) o falso (che sarà indicato da F e si dirà che il suo valore è davvero F).
Il valore di verità di una proposizione composta dipende esclusivamente dai valori di verità delle proposizioni semplici che appaiono in essa.
Per lavorare più in generale, non prenderemo in considerazione proposizioni specifiche, ma variabili proposizionali p, q, r, s, ecc. Che rappresenteranno ogni proposizione.
Con queste variabili e i connettivi logici, le formule proposizionali ben note si formano proprio come le proposizioni composte sono costruite.
Se ciascuna delle variabili che appaiono in una formula proposizionale viene sostituita da una proposizione, si ottiene una proposizione composita.
Di seguito sono riportate le tabelle di verità per i connettivi logici:
Esistono formule proposizionali che ricevono solo il valore V nella loro tabella di verità, cioè l'ultima colonna della loro tabella di verità ha solo il valore V. Questo tipo di formule è noto come tautologie. Ad esempio:
La seguente è la tabella di verità della formula
Si dice che una formula α implichi logicamente un'altra formula β, se α è vera ogni volta che β è vero. Cioè, nella tabella di verità di α e β, le righe dove α ha una V, β ha anche una V. Solo le righe in cui α hanno il valore V sono di interesse.La notazione per l'implicazione logica è la seguente :
La tabella seguente riepiloga le proprietà dell'implicazione logica:
Si dice che due formule proposizionali sono logicamente equivalenti se le loro tabelle di verità sono identiche. La seguente notazione è usata per esprimere l'equivalenza logica:
Le seguenti tabelle riassumono le proprietà dell'equivalenza logica:
Tipi di logica matematica
Esistono diversi tipi di logica, specialmente se si tiene conto della logica pragmatica o informale che punta alla filosofia, tra le altre aree.
Per quanto riguarda la matematica, i tipi di logica potrebbero essere riassunti come segue:
- Logica formale o aristotelica (logica antica).
- Logica proposizionale: è responsabile dello studio di tutto ciò che riguarda la validità degli argomenti e delle proposizioni usando un linguaggio formale e anche simbolico.
- Logica simbolica: focalizzata sullo studio degli insiemi e delle loro proprietà, anche con un linguaggio formale e simbolico, ed è profondamente legata alla logica proposizionale.
- Logica combinatoria: una delle più recenti, comporta risultati che possono essere sviluppati da algoritmi.
- Programmazione logica: utilizzata nei vari pacchetti e linguaggi di programmazione.
aree
Tra le aree che fanno uso della logica matematica in modo indispensabile nello sviluppo del loro ragionamento e delle loro argomentazioni, esse enfatizzano la filosofia, la teoria degli insiemi, la teoria dei numeri, la matematica algebrica costruttiva e i linguaggi di programmazione.
