Teorema di Moivre: cosa comporta, dimostrazione ed esercizi

Il teorema di Moivre applica i processi fondamentali dell'algebra, come i poteri e l'estrazione delle radici in numeri complessi. Il teorema fu enunciato dal famoso matematico francese Abraham de Moivre (1730), che associava numeri complessi a trigonometria.

Abraham Moivre ha fatto questa associazione attraverso le espressioni del seno e del coseno. Questo matematico ha generato un tipo di formula attraverso la quale è possibile sollevare un numero complesso za la potenza n, che è un numero intero positivo maggiore o uguale 1.

Qual è il teorema di Moivre?

Il teorema di Moivre afferma quanto segue:

Se abbiamo un numero complesso nella forma polare z = r _Ɵ, dove r è il modulo del numero complesso z, e l'angolo Ɵ è chiamato l'ampiezza o l'argomento di qualsiasi numero complesso con 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, per calcolare il suo n- Questo potere non sarà necessario per moltiplicarlo da solo n-volte; cioè, non è necessario creare il seguente prodotto:

Zn = z _* z _* z _*. _. _{. *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *.} _. _{. *} r-n-times.

Al contrario, il teorema dice che quando si scrive z nella sua forma trigonometrica, per calcolare l'ennesima potenza, procediamo come segue:

Se z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) allora zn = rn (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Ad esempio, se n = 2, allora z2 = r2 [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. Se hai n = 3, allora z3 = z2 _* z. Inoltre:

z3 = r2 [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r3 [cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

In questo modo, i rapporti trigonometrici del seno e del coseno possono essere ottenuti per multipli di un angolo, purché siano noti i rapporti trigonometrici dell'angolo.

Allo stesso modo può essere usato per trovare espressioni più precise e meno confuse per l'ennesima radice di un numero complesso z, così che zn = 1.

Per dimostrare il teorema di Moivre, viene usato il principio dell'induzione matematica: se un intero "a" ha una proprietà "P", e se per qualsiasi numero intero "n" maggiore di "a" con la proprietà "P" è soddisfa che n + 1 ha anche la proprietà "P", quindi tutti gli interi maggiori o uguali a "a" hanno la proprietà "P".

spettacolo

In questo modo, la dimostrazione del teorema viene eseguita con i seguenti passaggi:

Base induttiva

Primo controllo per n = 1.

Come z1 = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) 1 = r1 (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) 1 = r1 [cos (1 _* Ɵ) + i _* sin (1 _* Ɵ)], abbiamo che per n = 1 il teorema è soddisfatto.

Ipotesi induttiva

Si presume che la formula sia vera per alcuni numeri interi positivi, ovvero n = k.

zk = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) k = rk (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

analisi

È dimostrato che è vero per n = k + 1.

Poiché zk + 1 = zk _* z, quindi zk + 1 = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) k + 1 = rk (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* sinƟ) .

Quindi le espressioni si moltiplicano:

zk + 1 = rk + 1 ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* sinƟ )).

Per un momento il fattore rk + 1 viene ignorato e il fattore comune i viene estratto:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i2 (sin kƟ) _* (sinƟ).

Come i2 = -1, lo sostituiamo nell'espressione e otteniamo:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Ora la parte reale e quella immaginaria sono ordinate:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i [(sin kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (sinƟ)].

Per semplificare l'espressione, vengono applicate le identità trigonometriche della somma degli angoli per il coseno e il seno, che sono:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

In questo caso, le variabili sono gli angoli Ɵ e kƟ. Applicando le identità trigonometriche, abbiamo:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = sin (kƟ + Ɵ)

In questo modo, l'espressione rimane:

zk + 1 = rk + 1 (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

zk + 1 = rk + 1 (cos [(k +1) Ɵ] + i _* sin [(k +1) Ɵ]).

Quindi potrebbe essere mostrato che il risultato è vero per n = k + 1. Secondo il principio dell'induzione matematica, si conclude che il risultato è vero per tutti gli interi positivi; cioè, n ≥ 1.

Numero intero negativo

Il teorema di Moivre viene applicato anche quando n ≤ 0. Si consideri un numero intero negativo «n»; allora "n" può essere scritto come "-m", cioè n = -m, dove "m" è un numero intero positivo. pertanto:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) -m

Per ottenere l'esponente «m» in modo positivo, l'espressione è scritta al contrario:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Ora, si usa che se z = a + b * i è un numero complesso, allora 1 ÷ z = ab * i. pertanto:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

Usando cos (x) = cos (-x) e quello -sen (x) = sin (-x), dobbiamo:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = [cos (mƟ) - i _* sin (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

In tal modo, si può affermare che il teorema si applica a tutti i valori interi di "n".

Esercizi risolti

Calcolo dei poteri positivi

Una delle operazioni con numeri complessi nella sua forma polare è la moltiplicazione tra due di questi; in tal caso i moduli vengono moltiplicati e gli argomenti vengono aggiunti.

Se si dispone di due numeri complessi z _{1 e} z ₂ e si desidera calcolare (z ₁ * z ₂ ) 2, quindi procedere come segue:

z ₁ z ₂ = [r ₁ (cos Ɵ ₁ + i _* sin Ɵ ₁ )] * [r ₂ (cos Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ ₂ )]

La proprietà distributiva è applicata:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i2 _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ) .

Sono raggruppati, prendendo il termine "i" come un fattore comune di espressioni:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i (cos Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ + sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ ) + i2 _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ]

Come i2 = -1, è sostituito nell'espressione:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i (cos Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ + sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ ) - sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ]

I termini reali sono raggruppati con reali, e immaginari con immaginari:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [(cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ - sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ) + i (cos Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ + sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ )]

Infine, le proprietà trigonometriche sono applicate:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ ) + i sin (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ )].

In conclusione:

(z ₁ * z ₂ ) 2 = (r ₁ r ₂ [cos (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ ) + i sin (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ )]) 2

= r ₁ 2r ₂ 2 [cos 2 * (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ ) + i sin 2 * (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ )].

Esercizio 1

Scrivi il numero complesso in forma polare se z = - 2 -2i. Quindi, usando il teorema di Moivre, calcola z4.

soluzione

Il numero complesso z = -2 -2i è espresso nella forma rettangolare z = a + bi, dove:

a = -2.

b = -2

Sapendo che la forma polare è z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), dobbiamo determinare il valore del modulo «r» e il valore dell'argomento «Ɵ». Come r = √ (a² + b²), i valori dati vengono sostituiti:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Quindi, per determinare il valore di «Ɵ», viene applicata la forma rettangolare di questa, che è data dalla formula:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Poiché tan (Ɵ) = 1 e lo hai a <0, devi:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Poiché il valore di "r" e "Ɵ" è già stato ottenuto, il numero complesso z = -2 -2i può essere espresso nella forma polare sostituendo i valori:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

Ora il teorema di Moivre è usato per calcolare z4:

z4 = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) 4

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π)).

Esercizio 2

Trova il prodotto dei numeri complessi esprimendolo nella sua forma polare:

z1 = 4 (cos 50o + i _* sin 50o)

Z2 = 7 (cos 100o + i _* sin 100o).

Quindi, calcolare (z1 * z2) ².

soluzione

Prima viene formato il prodotto dei numeri indicati:

z ₁ z ₂ = [4 (cos 50o + i _* sin 50o)] * [7 (cos 100o + i _* sin 100o)]

Quindi moltiplica i moduli insieme e aggiungi gli argomenti:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _* [cos (50o + 100o) + i _* sin (50o + 100o)]

L'espressione è semplificata:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150o + (i _* sin 150o).

Infine, viene applicato il teorema di Moivre:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150o + (i _* sin 150o)) ² = 784 (cos 300o + (i _* sin 300o)).

Calcolo dei poteri negativi

Per dividere due numeri complessi z _{1 e} z ₂ nella loro forma polare, il modulo viene diviso e gli argomenti vengono sottratti. Pertanto, il quoziente è z ₁ ÷ z ₂ ed è espresso come segue:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ ₁ - Ɵ ₂ ) + i sin (Ɵ ₁ - Ɵ ₂ )]).

Come nel caso precedente, se si desidera calcolare (z1 ÷ z2) ³ prima viene effettuata la divisione e quindi viene utilizzato il teorema di Moivre.