Teorema di Tales of Miletus: primo, secondo ed esempi

Il primo e il secondo teorema di Tales of Miletus si basano sulla determinazione di triangoli da altri simili (primo teorema) o circonferenze (secondo teorema). Sono stati molto utili in varie aree. Ad esempio, il primo teorema si è dimostrato molto utile per misurare strutture di grandi dimensioni quando non c'erano sofisticati strumenti di misura.

Talete di Mileto era un matematico greco che forniva grandi contributi alla geometria, di cui questi due teoremi si distinguono (in alcuni testi lo scrivono anche come Thales) e le loro utili applicazioni. Questi risultati sono stati usati nel corso della storia e hanno permesso di risolvere un'ampia varietà di problemi geometrici.

Primo teorema di Tales

Il primo teorema di Tales è uno strumento molto utile che, tra le altre cose, consente di costruire un triangolo simile ad un altro, precedentemente noto. Da ciò derivano varie versioni del teorema che possono essere applicate in più contesti.

Prima di dare la tua dichiarazione, ricorda alcune nozioni di somiglianza tra triangoli. Essenzialmente, due triangoli sono simili se i loro angoli sono congruenti (hanno la stessa misura). Ciò dà origine al fatto che, se due triangoli sono simili, i loro lati corrispondenti (o omologhi) sono proporzionali.

Il primo teorema di Talete afferma che se in un dato triangolo viene disegnata una linea retta parallela a uno qualsiasi dei suoi lati, il nuovo triangolo ottenuto sarà simile al triangolo iniziale.

Si ottiene anche una relazione tra gli angoli che si formano, come mostrato nella figura seguente.

applicazione

Tra le sue molteplici applicazioni spicca uno di particolare interesse e ha a che fare con uno dei modi in cui sono state fatte misurazioni di grandi strutture nell'antichità, tempo in cui viveva Thales e in cui i moderni strumenti di misurazione non erano disponibili. Esistono ora.

Si dice che questo fosse il modo in cui Thales riuscì a misurare la più alta piramide in Egitto, Cheope. Per questo, Thales suppose che i riflessi dei raggi solari toccassero il terreno formando linee parallele. Sotto questa ipotesi, ha bloccato un bastone o una canna verticalmente nel terreno.

Quindi ha usato la somiglianza dei due triangoli risultanti, uno formato dalla lunghezza dell'ombra della piramide (che può essere facilmente calcolata) e l'altezza della piramide (l'ignoto) e l'altro formato dalle lunghezze dell'ombra e l'altezza della canna (che può anche essere facilmente calcolata).

Usando la proporzionalità tra queste lunghezze, puoi cancellare e conoscere l'altezza della piramide.

Sebbene questo metodo di misurazione possa dare un errore significativo di approssimazione rispetto all'accuratezza dell'altezza e dipenda dal parallelismo dei raggi del sole (che a sua volta dipende da un tempo preciso), dobbiamo riconoscere che è un'idea molto intelligente e questo ha fornito una buona alternativa di misurazione per il tempo.

Esempi

Trova il valore di x in ciascun caso:

soluzione

Qui abbiamo due linee tagliate da due linee parallele. Con il primo Teorema di Talete si ha che i loro rispettivi lati sono proporzionali. In particolare:

soluzione

Qui abbiamo due triangoli, uno di questi formato da un segmento parallelo a uno dei lati dell'altro (precisamente il lato della lunghezza x). Per il primo teorema di Tales devi:

Secondo Teorema dei racconti

Il secondo teorema di Talete determina un triangolo rettangolo inscritto in una circonferenza in ogni punto dello stesso.

Un triangolo inscritto in una circonferenza è un triangolo i cui vertici sono sulla circonferenza, essendo così contenuti in questo.

In particolare, il secondo teorema di Talete afferma quanto segue: dato un cerchio di centro O e diametro AC, ogni punto B della circonferenza (diversa da A e C) determina un triangolo destro ABC, con angolo retto

A titolo di giustificazione, si noti che sia OA che OB e OC corrispondono al raggio della circonferenza; quindi, le loro misure sono le stesse. Da lì si ottiene che i triangoli OAB e OCB sono isosceli, dove

È noto che la somma degli angoli di un triangolo è uguale a 180º. Usando questo con il triangolo ABC devi:

2b + 2a = 180º.

Equivalentemente, abbiamo che b + a = 90º eb + a =

Si noti che il triangolo destro fornito dal secondo teorema di Thales è precisamente quello il cui ipotenusa è uguale al diametro della circonferenza. Pertanto, è completamente determinato dal semicerchio che contiene i punti del triangolo; in questo caso, il semicerchio superiore.

Si noti inoltre che nel triangolo rettangolo ottenuto mediante il secondo teorema di Talete, l'ipotenusa è divisa in due parti uguali da OA e OC (il raggio). A sua volta, questa misura è uguale all'OB del segmento (anche il raggio), che corrisponde alla mediana del triangolo ABC di B.

In altre parole, la lunghezza della mediana del triangolo destro ABC corrispondente al vertice B è completamente determinata dalla metà dell'ipotenusa. Ricorda che la mediana di un triangolo è il segmento da uno dei vertici al punto medio del lato opposto; in questo caso, il segmento BO.

Circonferenza circoscritta

Un altro modo di vedere il secondo teorema di Thales è attraverso un cerchio circoscritto a un triangolo rettangolo.

In generale, un cerchio circoscritto a un poligono consiste nella circonferenza che passa attraverso ciascuno dei suoi vertici, ogni volta che è possibile rintracciarlo.

Usando il secondo teorema di Talete, dato un triangolo rettangolo, possiamo sempre costruire un cerchio circoscritto a questo, con un raggio pari alla metà dell'ipotenusa e del circoncenter (il centro della circonferenza) uguale al punto medio dell'ipotenusa.

applicazione

Un'applicazione molto importante del secondo teorema di Thales, e forse la più usata, è quella di trovare le linee tangenti a una circonferenza data, per un punto P esterno a questo (noto).

Osserva che data una circonferenza (disegnata in blu nella figura sotto) e un punto P esteriore, ci sono due linee tangenti alla circonferenza che attraversano P. Sia T e T 'i punti di tangenza, r il raggio della circonferenza e O al centro.

È noto che il segmento che va dal centro di un cerchio a un punto di tangenza di esso, è perpendicolare a questa linea tangente. Quindi, l'angolo OTP è dritto.

Da quanto visto in precedenza nel primo teorema di Thales e nelle sue diverse versioni, vediamo che è possibile iscrivere il triangolo OTP in un'altra circonferenza (in rosso).

Analogamente, si ottiene che il triangolo OT'P possa essere inscritto all'interno della stessa circonferenza precedente.

Con il secondo teorema di Talete otteniamo anche che il diametro di questa nuova circonferenza è precisamente l'ipotenusa del triangolo OTP (che è uguale all'ipotenusa del triangolo OT'P), e il centro è il punto medio di questa ipotenusa.

Per calcolare il centro della nuova circonferenza, è quindi sufficiente calcolare il punto medio tra il centro - diciamo M - della circonferenza iniziale (che già conosciamo) e il punto P (che conosciamo anche). Quindi, il raggio sarà la distanza tra questo punto M e P.

Con il raggio e il centro del cerchio rosso possiamo trovare la sua equazione cartesiana, che ricordiamo è data da (xh) 2 + (yk) 2 = c2, dove c è il raggio e il punto (h, k) è il centro della circonferenza

Conoscendo ora le equazioni di entrambe le circonferenze, possiamo intersecarle risolvendo il sistema di equazioni formate da queste e ottenendo così i punti di tangenza T e T '. Infine, per conoscere le linee tangenti desiderate, è sufficiente trovare l'equazione delle linee che passano attraverso T e P, e per T 'e P.

esempio

Considerare una circonferenza di diametro AC, centro O e raggio 1 cm. Sia B un punto sulla circonferenza tale che AB = AC. Quanto misura AB?

soluzione

Con il secondo teorema di Talete abbiamo che il triangolo ABC è un rettangolo e l'ipotenusa corrisponde al diametro, che in questo caso misura 2 cm (il raggio è 1 cm). Quindi, secondo il teorema di Pitagora dobbiamo: