Classificazione dei numeri reali
La classificazione principale dei numeri reali è divisa in numeri naturali, numeri interi, numeri razionali e numeri irrazionali. I numeri reali sono rappresentati con la lettera R.
Esistono molti modi in cui è possibile costruire o descrivere diversi numeri reali, variando da forme più semplici a forme più complesse, a seconda del lavoro matematico che si desidera eseguire.
Come vengono classificati i numeri reali?
Numeri naturali
Questi sono i numeri usati per contare, come "ci sono quattro fiori nel bicchiere".
Alcune definizioni iniziano i numeri naturali in 0, mentre altre definizioni iniziano in 1. I numeri naturali sono quelli usati per contare: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... ecc; Sono usati come numeri ordinali o cardinali.
I numeri naturali sono le basi con cui molte altre serie di numeri possono essere costruite per estensione: numeri interi, numeri razionali, numeri reali e numeri complessi, tra gli altri.
Queste catene di estensione costituiscono i numeri naturali canonicamente identificati negli altri sistemi numerici.
Le proprietà dei numeri naturali, come la divisibilità e la distribuzione dei numeri primari, sono studiate nella teoria dei numeri.
I problemi relativi al conteggio e all'ordinamento, come le enumerazioni e il partizionamento, sono studiati in combinatoria.
Nel linguaggio comune, come nelle scuole primarie, i numeri naturali possono essere chiamati numeri numerabili per escludere interi negativi e zero.
Hanno diverse proprietà, come: addizione, moltiplicazione, sottrazione, divisione, ecc.
Numeri interi
I numeri interi sono quei numeri che possono essere scritti senza una componente frazionale. Ad esempio: 21, 4, 0, -76, ecc. D'altra parte, numeri come 8.58 o √2 non sono numeri interi.
Si può dire che i numeri interi sono numeri completi insieme a numeri negativi di numeri naturali. Sono utilizzati per esprimere il denaro dovuto, le profondità relative al livello del mare o la temperatura sotto zero, per citarne alcuni.
Un insieme di numeri interi è costituito da zero (0), numeri naturali positivi (1, 2, 3 ...) e numeri interi negativi (-1, -2, -3 ...). Generalmente questo viene definito con una ZZ o con una Z (Z) in grassetto.
Z è un sottoinsieme del gruppo di numeri razionali Q, che a loro volta formano il gruppo di numeri reali R. Come i numeri naturali, Z è un gruppo numerabile infinito.
Numeri interi formano il gruppo più piccolo e il più piccolo insieme di numeri naturali. Nella teoria dei numeri algebrici, gli interi sono talvolta chiamati interi irrazionali per distinguerli dagli interi algebrici.
Numeri razionali
Un numero razionale è un qualsiasi numero che può essere espresso come il componente o frazione di due numeri interi p / q, un numeratore p e un denominatore q. Poiché q può essere uguale a 1, ogni numero intero è un numero razionale.
L'insieme di numeri razionali, spesso indicati come "i razionali", è denotato da una Q.
L'espansione decimale di un numero razionale finisce sempre dopo un numero finito di cifre o quando la stessa sequenza di cifre finite viene ripetuta più e più volte.
Inoltre, qualsiasi decimale ripetuto o terminale rappresenta un numero razionale. Queste affermazioni sono vere non solo per la base 10, ma anche per qualsiasi altra base intera.
Un numero reale che non è razionale è chiamato irrazionale. I numeri irrazionali includono √2, a π ed e, per esempio. Poiché l'intera serie di numeri ratificabili è numerabile e che il gruppo di numeri reali non è numerabile, si può affermare che quasi tutti i numeri reali sono irrazionali.
I numeri razionali possono essere formalmente definiti come classi di equivalenze di coppie di interi (p, q) in modo che q ≠ 0 o la relazione equivalente definita da (p1, q1) (p2, q2) solo se p1, q2 = p2q1.
I numeri razionali, insieme con l'addizione e la moltiplicazione, formano campi che costituiscono numeri interi e sono contenuti in ogni ramo che contiene numeri interi.
Numeri irrazionali
I numeri irrazionali sono tutti numeri reali che non sono numeri razionali; I numeri irrazionali non possono essere espressi come frazioni. I numeri razionali sono i numeri composti da frazioni di numeri interi.
Come conseguenza della dimostrazione di Cantor che tutti i numeri reali sono non numerabili e che i numeri razionali sono numerabili, si può concludere che quasi tutti i numeri reali sono irrazionali.
Quando il raggio di lunghezza di due segmenti di linea è un numero irrazionale, si può affermare che questi segmenti di linea sono incommensurabili; il che significa che non c'è una lunghezza sufficiente in modo che ciascuno di essi possa essere "misurato" con un particolare intero multiplo di esso.
Tra i numeri irrazionali ci sono il raggio π di una circonferenza di un cerchio al suo diametro, il numero di Eulero (e), il numero d'oro (φ) e la radice quadrata di due; ancora di più, tutte le radici quadrate dei numeri naturali sono irrazionali. L'unica eccezione a questa regola sono i quadrati perfetti.
Si può osservare che quando i numeri irrazionali sono espressi posizionalmente in un sistema numerico, (come per esempio nei numeri decimali) non terminano o si ripetono.
Ciò significa che non contengono una sequenza di cifre, la ripetizione con cui viene creata una linea di rappresentazione.
Ad esempio: la rappresentazione decimale del numero π inizia con 3.14159265358979, ma non esiste un numero finito di cifre che possano rappresentare esattamente π, né possono essere ripetute.
La dimostrazione che l'espansione decimale di un numero razionale deve terminare o essere ripetuta è diversa dalla prova che un'estensione decimale deve essere un numero razionale; Sebbene semplici e piuttosto lunghi, questi test richiedono un po 'di lavoro.
Di solito i matematici generalmente non prendono la nozione di "finire o ripetere" per definire il concetto di un numero razionale.
I numeri irrazionali possono anche essere trattati tramite frazioni non continue.
